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[類 一橋大〕
練習
④7
正の整数nでn" +1が3で割り切れるものをすべて求めよ。
nを3で割ったときの商を」 とすると, nは
3g, 3g+1,3g+2 のいずれかで表される。
←3で割った余りは0か
1か2である。
[1] n=3gのとき, g≧1 であり
n+1=(3g)+1=3(339-1・Q39)+1
←n+1=3×(整数) +1
3g-1
339-1.g39 は整数である。
2,3g3であるから,
よって, n”+1は3で割り切れない。
[2] n=3g+1のとき, g≧0であり
n"+1
=(3g+1)39+1+1
←二項定理を利用。
=3g+1Co(3g)39+1+3g+1C1 (3g)+..+35+1C3g 3g+3g+1C39+1+1
の各項は
= 3× (整数) +2
3× 整数)の形。
よって, n" +1は3で割り切れない。
[3] n=3g+2のとき, g≧0であり
n"+1
=(3g+2)39+2+1
←二項定理を利用。
=39+2 Co(39)39+2_
2+39+2C1 (3g)39+1.2+
････ +39+2 C3g+1 3g・23g+1
← の各項は
+3g+2C3g+2.239+2+1
3× (整数)の形。
=3X (整数) +239+2+1
ここで
+2+1
=(3-1)39+2+1
←もう一度二項定理。
=39+2Co339+2+3+2C1339 +1(-1)+ ・+3g+2C3g+1・3(-1)39+1
←
の各項は
+3g+2C3g+2(-1)39+2+1
3× 整数) の形。
=3×(整数)+(-1)39+2+1
(2)
(-1) 39+2+1の値について調べると
∫(-1) 個数=1
←
−1)**=-1
を利用
(i) g が偶数,すなわちg=2k(kは0以上の整数)のとき
(−1)39+2+1=(−1)6k+2+1=1+1=2
するために,偶奇に分け
る。
このとき, ①,②から, n”+1は3で割り切れない。
(ii) gが奇数,すなわちg=2k+1 (kは0以上の整数)のと
き
(-1)39+2+1=(−1)6k+5+1=-1+1=0
←6k+5は奇数。
このとき, ①, ② から,n" +1は3で割り切れる。
[1]~[3] から " +1が3で割り切れるのは,
n=3(2k+1)+2=6k+5 (kは0以上の整数)のときである。
← [3] (ii) のときのみ。
