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求めよ。
の数の差が
たよ。
148
基本事項 [2]
れる。
3桁が8の
なす )
+b
を示す。
36
n
ると
22
である
なる。
基本例題105 素因数分解に関する問題
解答
n
6
7
が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。
40
n² n³
1961
441
いずれの問題も素因数分解が,問題解決のカギを握る。
(1) √A" (mは偶数)の形になれば, 根号をはずすことができるから,
√の中の数を素因数分解しておくと、考えやすくなる。
n
(2) = (mは自然数)とおいて, n² n³
196' 441
を考える。
63n
40 V
32.7m 3
7n
2³.5
2 V 2.5
これが有理数となるような最小の自然数nはn=2・5・7=70
[ 105
=
= (m は自然数) とおくと n=2.3m
6
n222.32m²
ゆえに
がすべて自然数となるような最小の自然数nを求めよ。
P.468 基本事項
3-m²-(37)²
196
22.72
72
これが自然数となるのはが7の倍数のときであるから,
m=7k(kは自然数) とおくと n=2.3.7k.....
2³-33-7³k³23.3.7k³
よって
(1)
(2)
n³
441
3².7²
これが自然数となるもので最小のものは,k=1のときである
から ① に k=1 を代入して
n=42
=
検討 素因数分解の一意性
|素因数分解については,次の 素因数分解の一意性も重要である。
が自然数となる条件
77
解答 3"15"=3"(3.5)"=3m+n.5", 405=34.5 であるから 3+".5"=34.5
よってm=3, n=1
指数部分を比較して m+n=4,n=1
n
45
n を求めよ。
<63=32・7,40=23-5
3 7
2 √2-5
合成数の素因数分解は,積の順序の違いを除けばただ1通りである。
したがって、整数の問題では、2通りに素因数分解できれば、指数部分の比較によって方程式を
解き進めることができる。
問題3"15"= 405 を満たす整数 m, n の値を求めよ。
素因数分解
3) 63
3)21
7
63=3²-7
=
X2-5-7
12/27-22 (有理数)
・7:
となる。 TAHO
①より, kが最小のとき,
nも最小となる。
500 が有理数となるような最小の自然数n
V77m
/54000nが自然数になるような最小の自然数n を求めよ。
n³
がすべて自然数となるような最小の自然数nを求めよ。
Op.484 EX 74.75
471
4章
17
約数と倍数 最大公約数と最小公倍数
3
る
15
1!'C
1
m
っ
倍で
数
①
る
n進
