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演習 例題 222 4次関数のグラフと2点で接する直線
0000
関数y=x(x-4) のグラフと異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
[類 埼玉大]
演習
曲線 C
けると
指針▷ 次の1~3 の考え方がある [ただしf(x)=x(x-4), s≠t]。 3 の考え方で解いておし
解答
① 点 (t, f(t)) における接線が, y=f(x) のグラフと点(s, f(s) で接する。
②点(s, f(s)), (t, f(t)) におけるそれぞれの接線が一致する。
③y=f(x)のグラフと直線 y=xnがxmlの点で接するとして
f(x)=mx+n が 重解 s, tをもつ。 →
f(x)-(mx+n)=(x-s)(x-1)
US
y=x(x-4)のグラフと直線y=mx+nがx=s, x=t
(s≠t) の点で接するとすると, 次のxの恒等式が成り立つ。
x(x-4)-(mx+n)=(x-s)(x-t)
(左辺)=x-4x-mx-n
大
(右辺)={(x-s)(x-t)}={x2-(s+t)x+st}2
=x*+(s+t)'x2+s2t2-2(s+t)x3-2(s+t)stx+2stx2
=x-2(s+t)x+{(s+t)'+2st}x2-2(s+t)stx+s2t2
両辺の係数を比較して
YA
指針 3
CHA
解
y=32
おける
すな
この
f(t)
-4=-2(s+t)
①から
......
①,0= (s+t)2+2st
m=-2(s+t)st
3,-n=s²t²
下の別解 は,指針の①
......
④
え方によるものである。
s+t=2
これと②から
st=-2
f(t
③から
m=-8
④から
n=-4
(8x) (S+x)
f(t)
s, tはu2-2u-2=0の解で,これを解くと
u=1±√√3
s≠tを確認する。
よって,y=x(x-4) のグラフとx=1-√3, x=1+/3の点
で接する直線があり、 その方程式は
y=-8x-48-³ (s+y)=x="
別解y=4x-12x2 であるから,点(t, t(t-4)) における接線の方程式は
y-t(t-4)=(4t3-122)(x-t) すなわち y=(4t3-12t2)x-3t+8t3
この直線がx=s(s≠t) の点でy=x(x-4) のグラフと接するための条件は, 方程式
x-4x=(4t-12t2)x-3t+8t3 tと異なる重解s をもつことである。
(x-t)^{x2+2(t-2)x+3f8t}=--=
これを変形して
よって, x2+2(t-2)x+3t2-8t=0
Aが, tと異なる重解sをもてばよい。
Aの判別式をDとすると
D=(t-2)-1-(3f-8t)=-2-21-2)
D=0 とすると 2-2t-2=0
これを解くとt=1±√3
3
t
(*
t=1±√3 はピー2t-2=0を満たし
-3+4+8t³=-(t2-2t-2) (3t2-2t+2)-4=-4
このとき,Aの重解はs=-(t-2)=1+√3 (複号同順) よって、stである。
At-12t2=4(t2-2t-2) (t-1)-8=-8/
x
ゆえに,(*) から y=-&-
練習
④
4 222
曲線 C: y=x4-2x-3x2 と異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
