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重要 例題 71 定義域によって式が異なる関数
00000
関数f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると
2x
(0≦x<2)
き、次の関数のグラフをかけ
f(x)=
(1) y=f(x)
(2) y=f(f(x))
|8-2x (2≦x≦4)
けに利用す
分け
・分け。
√2
-101
指針 定義域によって式が変わる関数では,変わる境目のx,yの値に着目。
(2) f(f(x)) f(x)のxに f(x) を代入した式で
f(x) <2のとき 2f(x), 2≦f(x) 4のとき
8-2f(x)
(1) のグラフにおいて, 0≦f(x) <2となるxの範囲と, 2≦f(x) 4となるxの範囲
を見極めて場合分けをする。
(1) グラフは図 (1) のようになる。
答
(2)f(f(x)) = {g2(x)=f(x)≦4)
(0≦f(x)<2)
よって, (1) のグラフから
123
3章
⑧ 関数とグラフとの
変域ごとにグラフをかく。
(1) のグラフから, f(x)
D
0≦x<1のとき
f(x)<2
1≦x≦3のとき
2≤f(x)≤4
3<x≦4のとき
0≤f(x)<2
また, 1≦x≦3のとき,
平
f(x)の
1≦x<2なら
f(x) =2x
2≦x≦3なら
f(x)=8-2x
のように,2を境にして
式が異なるため, (2) は左
の解答のような合計4 通
りの場合分けが必要に
なってくる。
0≦x<1のとき
1≦x<2のとき
f(f(x))=2f(x)=2.2x4x
f(f(x))=8-2f(x)=8-2・2x
=8-4x
1
(p+d g+o
2≦x≦3のとき
f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)
=4x-8
3<x≦4のとき
f(f(x))=2f(x)=28-2x)
=16-4x
よって, グラフは図 (2) のようになる。
(1)
(2)
ya
YA
4
A
x
R
1234 x
参考 (2) のグラフは、式の意味を考える方法でかくこともできる。
[1]f(x) が2未満なら2倍する。
[2]f(x) が2以上4以下なら, 8から2倍を引く。
[右の図で、黒の太線 細線部分が y=f(x), 赤の実線部分が
y=f(f(x)) のグラフである。] なお, f(f(x)) f(x) f(x) の
合成関数といい, (fof) (x) と書く (詳しくは数学Ⅲで学ぶ)。
8から2倍を
引く
4---
0
4 x
2倍する
練習 関数 f(x) (0≦x<1) を右のように定義するとき,
71 次の関数のグラフをかけ。
2x
(0≦x</
f(x)=
(1) y=f(x)
(2)y=f(f(x))
2x-1
1 (1/2x-1)
