下の画像の証明において、赤線部の記述が必要になるのはなぜでしょうか🙏🏻 ⟡.· お願いします!!

I 応用例題 2 平均値の定理を用いて, 次のことを証明せよ。 0<a<bのとき b log blog a 1 く b-a a 考え方 関数 f(x) =logx と区間 [α, b] に,平均値の定理を適用する。 証明 関数 f(x) =logxは,x>0で微分可能で f(x)=1/ I I 1 区間 [a, b] において, 平均値の定理を用いると I log blog a 1 I -- ・①, a<c<b ② I C 1 I b-a を満たす実数 c が存在する。 f(x)=-x>0で減少するから,②より 111 b 1/21/12 1/3 すなわち すなわち ////// a C ① よって、より1/10gb-ga</ logo-loga 終 - I 1 1 1 I

[1]の場合分けについて質問です。 なぜcosx^2-cosx/x^2-xの極限を求めているのですか？ 赤のところの式が成り立つのは理解出来たのですが、求めたい極限はcosx-cosx^2/x-x^2のものなので、 -(cosx^2-cosx/x^2-x)かなと思ったのです... 続きを読む

58 重要 例題 1 平均値の定理を利用した極限 平均値の定理を利用して, 極限値 lim x→0 COS x -COS x2 x-x2 を求めよ。 基本的 よって、 指針 f(x) =cosxと考えたとき,分子は差f(x)-f(x2)の形になっている。 ページの基本例題 90 同様, 差f(b)-f(a) には 平均値の定理の利用 2 の方針で進める。それには、平均値の定理により, xx2 COS x-COS x2 を微分係数の [f'(c)] に表して極限値を求める。 なお、平均値の定理を適用する区間は x+0のときで異なるから注意が必要である。 f(x) =cosx とすると, f(x) はすべての実数xについて微平均値の定理が適用 解答 分可能であり f'(x)=-sinx [1] x < 0 のとき (p)-(d) る条件を述べている。 x<x2 であるから,区間[x, x2] において,平均値の定x<0<x2 gol=(x) できる時間 x2-x=-sin01, _x<0₁<x²/ J=V[d f(b)-f(a) b-a f'(c) a<c<b 参考事項 f(x) limg(x) x-a が 00 理化などを学ん かいなものもある ロピタルの定 微分可能で, li これは,平均値 (コーシーの平均 関数f(x), g(x 理を用いると COS x2 COS x を満たす実数 f(B)-f (証明) を満たす 01 が存在する。 g(B)-g limx=0, limx2=0であるから lim01=0 はさみうちの原理。 x110 x-0 x-0 このとき,F(x F(c COS x2 COS x よって lim x-0 x-x x1-0 = lim (-sin 0₁) >> が成り立つから =-sin0=0 [2] x>0のとき, x → + 0 であるから, 0<x<1として F'(c)=f'(c)- k= x → +0 であるから, い このとき,x2xであるから, 区間 [x2, x]において, gol 平均値の定理を用いると DI x=0 の近くで考える。 証明 コーシー [f(x), g(x) ( はされ COS x-COS2 x-x2 -sin02, x²<02<xld を満たす 02 が存在する。 f(b)-f(a)=f(c), b-a (0) x+0 limx2=0, lim x=0であるから lim02=0 x+0 よって lim XITO COS x-COS x2 x-x2 x+0 = lim (-sin02) x+0 =-sin0=0 となるcが有 Ca<c<b よって はさみうちの原理。 得られる場合は li ロピタルの にも成り立つ 以上から lim COSx-COSx2=((*)の x→0 x-x2 (*)左側極限と右側極限 が0で 致したから ① limf

数学の平均値の定理の問題です。 写真2枚目が解答なのですが、解答後半の「すべてのxに対してf''(x)≦0であるからf'(x)は増加関数ではなく、c1＜x2＜c2であるから」と書いてあります。この文がいまいち何を言っているのか分からないです。なぜこの文でその次の行の「f'(... 続きを読む

243 平均値の定理 関数 f(x) が,すべてのェに対してf" (x)≦0を満たすとする。 このとき, 1<2 <3 17 f (x2) − f(x1) > f (x3) — ƒ (x2) に対して が成立することを示せ X2-X1 X3-X2 (津田塾大)

c=log（e-1）になるのかがわかりません💦 教えてくださいお願いします🙇‍♀️

練習 8 次の関数と,示された区間について, 前ページの平均値の定理の式を 満たすcの値を求めよ。 (1) f(x)=x-3x2, [-2,1] (2) f(x)=ex, [0, 1]

確率の勉強をしている学生なのですが、この問題が分かりません。どなたか教えていただけませんか。

練習問題 1.8 (積率母関数) X を非負の確率変数とし, x(t) = Eetx は全てのt∈ に対して有限であると仮定する.さらに,全てのt∈ R に対し E [XetX] < ∞ であると仮定する.この練習問題の目的は, '(t) = E [Xetx] で あり、特に'(0)=EX であることを示すことである。 微分の定義, すなわち次式を思い出そう. 4'(t) = lim x(t) - (s) lim st t-s st EetxEesx t-s 「etx = lim E st t-s 上式の極限は,連続な変数sについて取っているが,t に収束する実数列{8}n=1を 選ぶことができ, 次を計算すればよい. 「etx e³n X lim E sn→t t-Sn これは、次の確率変数の列 etx -enx Yn = t-Sn の期待値の極限を取っていることになる.もしこの極限が, t に収束する列{Sn}=1 の選び方によらず同じ値になるならば、この極限も limotE [ex と同じで,そ れは '(t) である. .tx sx ← -e t-s 解析学の平均値の定理の主張は,もしf(t) が微分可能な関数ならば、任意の実数 s ともに対し,stの間の値の実数0で次を満たすものが存在するというものである. f(t)-f(s) =f' (0) (t-s). もしweΩを固定し,f(t) = etx(w) を定義すると,この式は, etX(w)_esx(w)=(t-s) X (w)e (w)x(w) (1.9.1) となる.ただし,(ω) はωに依存する実数 (すなわち,tとsの間の値を取る確率変 数)である. (i) 優収束定理 (14.9) (191) 式を使って,次を示せ. lim EY = Elim Yn=E [XetX] . (1.9.2) n→∞ [n→∞ このことから,求める式 4'(t) [XetX ] が導かれる. (ii) 確率変数 X は正の値も負の値も取り得、全てのt∈Rに対し Eetx < かつ E [|X|etX] < ∞ であると仮定する。 再度 '(t) = E [XetX] を示せ(ヒント: (1.3.1) 式の記号を使って X = X + - X- とせよ . )

どうして範囲が0<x<1と定められるんですか？ 至急教えてほしいです🙇‍♀️‪‪💦‬

lim {f(x+k)-f(x)} x→∞ 例題 12 平均値の定理を用いて, 極限 lim x → +0 sinx-sinx2 x-x2 を求めよ。 指針 解答 x → +0 であるから, 0<x1としてよい。 差 f(b)-f(a)が含まれる式の極限の計算には、平均値の定理が有効なことがあっ 関数 f(t) =sint はすべての実数で微分可能であり 区間[x2, x] において,平均値の定理を用いると このときx< f'(t) =cost sinx-sinx2 xx2 = COS C, x2<c<x を満たす実数 c が存在する。 limx2=0, lim x = 0 であるから x+0 x +0 lim sinx-sinx よって x +0 x-x2 = limc=0 x+0 = lim cosc=cos 0=1 答 x+0 畑を求め上。

なぜ−1 <x <1に変わってるんですか？

練習 tan x-tan x² 極限値 lim を求めよ. 91 110 x-x2 ***

1番の問題で、なぜａ <x < ａ+hとおいてるんなるんですか？？小なりイコールです、、

例題 89 平均値の定理(2) 平 平均値の定理f(a+h)=f(a)+hf'(a+0h),0<< 1 について, 試平 **** (1) 関数 f(x)=logxについて, a=1, h=e-1 とするとき,平均値 の定理を満たす0の値を求めよ. 178 (2) 関数f(x)=xについて, a, hを正の定数とするとき,平均値の定 理を満たす 0 の値を求めよ. また, lim0 の値を求めよ. h→ +0

なぜ、sinx <xになるのですか？

e2 20 1 190 平均値の定理を用いて,次の極限を求めよ。 *(1) lim x+0 sinx=sin(sinx) x−sinx (2) lim x→0

(２)から全体的の流れがよく分からいのと３枚目の写真のまるで囲った式の変形がよく分からないので教えて欲しいです🙏

(1) 次の極限を求めよ. 1 lim n→∞ log n (1+1/2 1 ること + +· 3 n (2) 関数 y=x(x-1)(x-2)(x-n) の極値を与えるxの最小値をπnとす を冷め る。このとき 1 1 1 1 +- +・・・+- In 1-xn 2-xn n-In および0mm = 1/12 を示せ. (3) (2) の xn に対して, 極限 limxnlogn を求めよ. n→∞