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166 第2章 2次関数 SE
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例題 88
2つの放物線の位置関係
2≦x≦2 の範囲で、関数f(x)=x2+2x-2,g(x)=-x2+2x+a+1
について、次の条件を満たすような定数αの値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1) すべてのxに対して、f(x)<g(x)
(2) あるxに対して,f(x)<g(x)
(3) すべての組 x1, x2 に対して,f(x)<g(x2)
(4) ある組X1,X2に対して、f(x)<g(x2)
グラフをかいて, f(x) と g(x)の位置関係をイメージする.また,「すべて」 と 「ある」
[考え方]
については,第3章 「集合と命題」で詳しく解説している。
(1)と(2)(x)(x)に同じxの値を代入したときの大小を比較している.
(2)−2≦x≦2 の範囲で xx
(1)−2≦x≦2 の範囲のどのxの値に対
しても、つねにxg(x) であ) を満たすxの値が存在することと、
ることと,この区間で,y=g(x)の この区間で,y=g(x)のグラフが
1)
グラフが y=f(x)のグラフより
y=f(x)のグラフより上側になる
部分がどこかにあることは同じ、
ねに上側にあることは同じ.
24842y=f(x)
y
12
y=g(x)\
y=f(x)
y4
O
X
f(x)<g(x)1
y=g(x)
h(x)=g(x)-f(x) とおくと, (1) は, −2≦x≦2 の範囲のどのようなxの値でも
f(x)<g(x),つまり,h(x)>0であることが条件である。
(2)は,-2≦x≦2 の範囲で, f(x) <g(x),つまり、(x)>0 となるxの値が存在する
ことが条件である。
解答 h(x)=g(x)f(x)とおくと、
h(x)=(-x2+2x+α+1)(x2+2x-2)
=-2x2+a+3
(1) 2≦x≦2のすべてのxに対して, h(x)>0 となる
条件は,この区間におけるh(x) の最小値が0より大き
くなることである.
h(x)>0 のとき,
g(x) f(x) つまり
g(x)はf(x)の上側.
y=h(x)のグラフは,上に凸で,軸が直線 x=0 で
あるから,x=-2 と x=2で最小値をとる.
YA
y=h(x)
よって,
より,α-50 つまり
h(-2)=-2・(-2)^+α+3=α-5
ん(2)=-2.22+α+3=α-5
(2)2x2のあるxに対して, h(x)>0 となる条件
は、この区間におけるh(x) の最大値が0より大きくな
ゑことである.
y=h(x) のグラフは上に凸で,軸がx=0 より,
x=0で最大値をとる。
最小 最小
A
IV
a>5
-20 2
x
α+3]
最大
y=h(x)
10
x
よって, h(0)=α+3>0 より a>-3
考え方 (3) (4)に
-24x
(3)-
の
y=f(
(4)
解答
