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114 第3章 図形と方程式
標問 51 交点の軌跡
(1) αを任意の実数とするとき, 2つの直線ax+y=a, x-ay=-1の交
点はどんな図形をえがくか.
(2) // sa≦√3のとき(1)の2直線の交点はどんな範囲にあるか.
・精講
パラメータαを含む2直線の交点の
軌跡を求める問題です。 求める軌跡
をCとすると,Cは, パラメータαによって決ま
点(x,y) の全体ですから
(x,y)EC ⇔
ax+y=a
|x-ay=-1
ということになります。
このとき 上の連立方程式を解いて
をみたす実数 αが存在する
a²-1 2a
a²+1, y=a²+1
x=-
とする必要はありません。 2式をみたす実数αが
存在するためのx,yの条件を求めます.
(i)y=0 のとき, ②' をみたす α が存在するのは
x=-1のときであり,このとき① は
-α+0=a となるので, a=0 が ① ②' をみ
す。
すなわち, (x,y)=(-1, 0) は条件をみたす.
(ii)y=0 のとき,②' をみたすαの値は α = - x+1
y
これが①もみたすためのx,yの条件は
x+1
••x+y=₁
x+1
y
y
解法のプロセス
図形 f(x, y, a) = 0
g(x, y, a)=0
の交点の軌跡
CEVIC ↓
解答
(1) ax+y=a ...... ① x-ay=-1 ...... ②
① ② をみたす実数α が存在するためのx,yの条件を求める.
②はya=x+1 ･･････ ②' と変形できる.
これをαについての方程式とみる.
(愛知学院大)
(1) 2式をみたす実数α が存在
するためのx,yの条件を求
める
(2) 2式をみたすαが
1≦a≦√3の範囲に存在
するためのx,yの条件を求
める
x2+y^2=1かつy=0
任意の実数a に対して②は成
立
← ①, ② をみたすα は 0
0
1
-1
/1x
HA
(i), (ii) より 求める交点の軌跡は
円x2+y2=1 ただし, 点 (1, 0) を除く.
MOLD $2
1/1/35 sas/3③として, ①, ②, ③ をみたす実数a が存在するため
(2)
のx,yの条件を求める ( 1 ) より
(i)y=0 のとき, ①, ② をみたすα が存在する条件はx=1であり、この
とき, αは0であるが,これは③をみたさない.
(ii)y=0 のとき, ①, ②, ③ をみたすαが存在するためのx,yの条件は
YA
1
x² + y² = 1/² √² ≤x+1 ≤ √ 3.....
y
-1<x<1 より x+1>0であり、④から0.
以上 (i), (i) より 求める交点の軌跡は
x2+y²=1
x+1
-≤ y ≤√√3(x+1)
√3
[x² + y² = 1
E B 115
/3
2
2
-≤y≤1
-1
別解
2直線ax+y=a ...... ①, x-ay = -1... ② の位置関係を調べる
とαの値にかかわらず, ①は定点A (1, 0), ② は定点B(-1, 0) を通り, ① と
②は直交している.
よって, ①, ② の交点は A,Bを直径の両端とする円上を動く.
(1) α がすべての実数を動くとき, ①は直線x=1 以外
のAを通る直線すべてを表す. ② も直線y=0 以外
のBを通る直線のすべてを表す。
よって,交点の軌跡は
円x2+y^2=1 ただし, 点 (1, 0) は除く.
(2) 1/15 ≦a≦√3より,① の傾き -αのとり得る範囲
は -√3≤-as-√3
であり,右図より,交点の軌跡は,円x2+y²=1の
√3
-My≦1の部分である.
0
AL
B
YA
11
1x
0
-1
-1
傾き 15 傾き
第3章
A
1 x
√3 1-√3
演習問題
(51-1)
2直線y=tx, y=(t+1)x-t の交点をPとする. tが変化するとき,
Pの軌跡の方程式を求めよ.
(学習院大 )
51-2 xy平面において円 (x-t)^2+y^2=t と直線y=tx の交点をP(t) と
する.t が正の実数を動くとき,P(t) のえがく曲線を求めて, それを図示せよ.
( 広島文教女大)
