66
有理数と無理数の関係
基本例題 40
(1)a,bが有理数, √T が無理数のとき, a+bvl=0 ならば α = b=0 で
あることを証明せよ。
(2)(1+√2)x+(-2+3√2)y=10 を満たす有理数x,yの値を求めよ。
[松山大 ]
CHART
OLUTION
(解答)
(1) b=0 と仮定すると
(1) 直接がだめなら間接で 背理法
6=0 と仮定して矛盾を導く。
(2)√2について整理して, (1) の結果を利用する。 このとき, 前提条件
「x,yは有理数,√2は無理数」を書くことを忘れないよう注意。
a,b は有理数であるから,右辺のCは有理数である。
左辺の√は無理数であるから,これは矛盾している。
よって
b=0
(2) 与式を変形して
このとき, a+0.7 = 0 から a=0
ゆえに, α, bが有理数, Tが無理数のとき
a+b=0 ならばa=b=0
√T=-11/10
b
LOINT
(x-2y-10)+(x+3y)√2=0
x,yは有理数であるから, x-2y-10, x+3y は有理数であ
り √2は無理数である。
ゆえに x-2y-10=0, x+3y=0
よって
x=6, y=-2
PRACTICE･・・･ 40 ③
a
AUG IF * To to z
7+a√3
00000 *
「す
基本38
-=b+9/3を満たす
◆a=b=0 の否定は
「 α = 0 または 6=0」 で,
これを仮定してもよい
が, α = 0 は b=0が証
明できればすぐに示す
ことができる。そのた
め、初めに6=0 のみを
仮定した。
◆√2について整理。
この断りは重要。
有理数と無理数
a,b,c,dが有理数, I が無理数のとき
ならば
a=b=0
1 a+b√T=0
② a+b1=c+dI ならばa=c, b=d
(第2式) (第1式)から
5y+10=0
重
www
Us
!
