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315 複数の数列の漸化式
1Oを中心とする円間上に3点A, B, Cがあり、円
/外に成Dがある、それらが右の図のように実線で結ば
/かでいる、今, 動点Pが点Aからスタートし、1秒ご
/とに実線で結ばれた隣の点に等しい確率で移動する、
|R0および点Dに到着したらそこで停止するものとし、 D
白線上のA
きは東へ1
するまで、
8章
B
はOにn秒後に初めて到着する確率をDn とする、
1 か かか 加を求めよ。
2 n秒後に点Pが3点A, B, Cにいる確率をそれぞれ an, bn, Cn と
するとき、pu+1, Qn+l, bn+1, Cn+1 をそれぞれ an bu, Cn を用いて
表せ、
数列(Da) の漸化式を求め、pnをnの式で表せ、
(京都大)
QN
P
3
A. B、 Cと実線で結ばれている点はいずれも3点なので、 1秒後に次の点に行く確
率はどの点についても一である、
) 1秒後、2秒後,3秒後に点Oに行くにはどのように点Pが動けばよいか考える。
2) (n+1)秒後に各点にいるには,れ秒後にどの点に点Pがいればよいかを考える、
QN
国山カー カーーカー が A-B-0
1.1
33
9
1
国 0 カ= カー
2 D=(a.+b。)0.
b=(a.+c)…3,
9 2. 9より, aes+ban=(antb)+2cn …)」流れ関で考える。
1.1
333
1
TA
S
×3=
9
2秒後 A→B-→0
+c)…23秒後
教+4
an+1=
A→B→A→0
A→C→A→0
Ca+1=(an+b。)….④
A→C→B→0
と流れ図で考える、
(n+1)秒後に点0に
いるには、 n秒後に点
Aか点Bにいないとい
けない、他の点も同様、
(2)の結果より、pu+2
an+1+bn+1=
1
G==か とD, ④より、
Cn= Dn
+1
の大小関係を
2
したがって,0, ⑤より、 Drsmいt号か
+か (+) か+か一品より、 A.かんの関係式を導
調べる。
合,Dat1>1,
Dn
Pn+2+ Dn+1
2
Dn+1+
Dミ
く、pa+1は an と b。で
表されることに着目す
3
<1 の3つ
Pn+1+
る、
必要となる。
ーャー3-0より。
よ
Dn+2-
Dn+1
9
(3.x+1)(3.x-2)=0
Dn+1-
1
2
x=ー
3' 3
よって、6-のより, か、ー()-(-)
pn=
-1
区す。 ただ
『の赤球で
→か.567 [35)
検習
315 nの式で表せ.
315において, 点Dにヵ秒後に初めて到着する確率を d,とするとき, dn を
2|3
L
