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97 双曲線となり用
考え方 直線とx軸正方向とのなす角は0であるから,この傾き
解答
(1) l の方程式はy=(x-1)tan0だか
ら,これをCの方程式に代入すると
2x²-2(x-1)² tan²0 = 1
tan Qt (t = 0, ±1) とおいて整理して
2(1-t2)x2+4t2x- (1+2t) = 0
①の判別式をDとすると
D= (2+²)²2-2 (1-t²){-(1 + 2t²)} = 2(1 + t²) > 0
4
21²
aβ=
1-t².
この傾きは t(=tan) であるから｣
よって, ① は異なる2つの実数解をもつから、直線は双曲線
Cと相異なる2点で交わる。
(証終)
(2) ①の2つの解をα, β とすると, 解と係数の関係から
1+2t2
α+β=-
2(1-t²)
_PQ2=(1+t)(a-B)2=(1+t){(a+β)²-4aß}
2(1-t)]
= 2 (1+tan ²)² = 2(cos²0+ sin²0 ²
\2
1-tan²0
A-sin20
2
cos220
22 \2
= 0+1"){(-2+²)* +4. 21+2²}-20+1²
答
G
(3) (2)から, RS' =
回核心は
ココ!
なす角
2
cos¹2(0+5)=
4
1
1
cos220
PQ+= cos 20+ sin 20
PQ²
RS2
2
2
11
2
sin ²20
0
なので
G
1/12 (一定)(証終
F
F
H
第10章 式と曲線
第33回
97 Lv.★★)
解答は158ページ
C を双曲線 2x2-2y2=1とする。 l,mを点 (10) を通り, x軸とそれ
れ 0.0+匹の角をなす2直線とする。 ここで0はの整数倍でないとす
CLOS
4
(1) 直線は双曲線 C と相異なる2点P, Qで交わることを示せ｡
(2) PQ³ 2.
を用いて表せ。
10
AN
(3) 直線と曲線Cの交点をRSとするとき,
らない定数となることを示せ。
98 Lv.★★★
楕円
2
x²
曲
(1) 線分 OP の長さが 3
√5
(2) | α-0 の最大値を求めよ。
99 Lv.★★★
座標平面上の楕円
解答は159ページ
+y2=1上の点をP (3cosα, sinα) (0≦a≦
2) (0≦a≦△)とし、原点O
32
+
点Pを結ぶ線分とx軸の正の部分のなす角を0とするとき,次の各問に答
えよ。
XORA
y²
62
は42,
+ ･は0に
(筑波)
PQ² RS²
の長さをそれぞれA, YB とするとき,
以上になる0の範囲を求めよ｡
(群馬大
解答は160ページ・
a²
=1 (a>b>0)について,以下の問いに答えよ
(1)x座標が小さい方の焦点Fを極とし, F から x軸の正の方向へ向かう
半直線を始線とする極座標 (r, 9) で表された楕円の極方程式 r = f(0)
を求めよ。 また, 点Fを通る楕円の弦を AB とし,線分 FAおよび FB
1 1
+
rB
の値は定数となること
