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い
こは
<
胃に
422円の交点を通る円
69
(
これが (1,0)を通るので
-1+2k=0
k=1/2
(I) 板
よって, 求める円は
2x2+y^2-2x+4y=0 ......①, x2+y2+2x=1...②
がある. 次の問いに答えよ.
> (1) ① ② は異なる2点で交わることを示せ.
5/8
(2) ① ② の交点を P, Q とするとき 2点P Qと点 (10)
る円の方程式を求めよ.
いま
5/8
礎
△(3) 直線 PQ の方程式と弦 PQ の長さを求めよ.
2円の交点を通る組
の
(1)2円が異なる2点で交わる条件は
"
|精講
した
「半径の差 <中心間の距離 <半径の和」 です.
(I A59)
(2)38 の考え方を用いると, 2点P, Q を通る円は
(x2+y^2-2x+4y)+k(x²+y2+2x-1)=0
の形に表せます.
(3)2点P,Qを通る直線も (2) と同様に
(x2+y²-2x+4y)+k(x2+y^+2x-1)=0
11+ar-
+
と表せますが,直線を表すためには, x2,y の項が消えなければならないの
で, k=-1 と決まります.また,円の弦の長さを求めるときは、2点間の距
離の公式ではなく,点と直線の距離 (34) と三平方の定理を使います.
解
答
(1) ①より (x-1)+(y+2)²=5
r2+y²-2x+4y+1/(x²+y'+2x-1)=0
20
9
(3) ③において,x', y' の項が消えるので,
k=-1
4x-4y-1=0 ......④
次に,円②の中心(-1, 0) と直線 ④との距離をdとおくと,
|-4-1|
'5
d=-
4√√2
√√42+42
☆三平方の定理
図より,
(PQ)²=(√2)²-d²
PQ³=4(2-35)-39
8
/78
よって, PQ=-
4
円②
④
(-1,0)
d
Q
√2
/P
注 (3)において, k=-1 ということは,①-② を計算したことにな
ります.
ポイント
2つの円x+y+ax+by+c=0 と
x+y+azx+by+C2= 0
が交点をもつとき
..
②より (x+1)^+y2=2
(1-)-1
よって、 ①,②は異なる2点で交わる
中心間の距離=√22+22=√8<3=2+1<√5+√2
また、√5-√2 <3-1=2<√88と5の大小を
..半径の差 <中心間の距離 <半径の和
仕較しやすくするため.
中心 (1, 2),半径 √5
中心 (1,0),半径√2
Xの距離→2
√(1-2) yout
(2)2点P,Qを通る円は
(x²+ y²-2x+4y)+k (x² + y²+2x-1)=0 .....3
とおける.
演習問題 42
(x²+ y²+ax+by+c₁) + k (x² + y²+α₂x+b₂y+c₂)=0 |£
k≠-1のとき、 2円の交点を通る円
k=1のとき,2円の交点を通る直線
2つの円x+y=2と (x-1)2+(y-1)²=4は交点をもつ
