62
基本 例題 34 多くの式の大小比較
a>0,6>0, a=bのとき,
a+b
2ab
a2+62
✓ab,
2
a+b' V 2
|指針
大小を比較
基本 27,2932
4つの式の大小を,2つずつ (C2=) 6通り全部比較するのは面倒である。
そこで,a>0,b>0を満たす数 α = 1, 6=3 を代入してみると
a+b
2=2√ab=√3,
2
2ab
a+b
3
a²+b²
=√5
2
2'V
2ab
a+b
a²+62
よって,
<√ab
であると予想がつく。
a+b
2
2
この予想をもとに,2つずつ大小関係を決めていく。
CHART 多くの式の大小比較 予想して証明する
√ab(a+b)-2ab_√ab(a+b-2√ab)
2ab
√ab
解答
a+b
a+b
√aba-√6)
->0
a+b
2ab
よって
√ab> a+b
①
(相加平均) (相乗平均)により
a+b
<ab= (√ab)
√ab>0, √a-√60
から(√a-√6)20
a+b
>√ab
abから等号不成立。
2
a²+62
1 a+b² a²+b² (a+b)² - (a−b)²
=
>0
2
2
4
を含むから,平方の
差を比較。 a-b≠0
a²+62
>0,
2
2
a+b>075
a²+b²
a+b
2
2
2ab
①~③から
<√ab<-
a+b
a+b
a+b2
αキのとき。
2
2
参考上の例題において, a=bのときは,①,②③それぞれで>を=におき換えた等式が成
り立つ。すなわち
2ab
a=bのとき
=
√
ab =
a+b
a²+b²
=
a+b
2
A
2
2ab
2
また,
a+b
1 1
+
は逆数の相加平均の逆数である。 これを調和平均という。
a
b
上の例題の結果とAから,一般に, 40, 6>0に対して次のことが成り立つ。
(調和平均) ≦ (相乗平均) ≦ (相加平均) (等号が成り立つのはa=b のとき)
練習
(1) h
