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例題
重要例
120 連立2次不等式が整数解をもつ条件
000
xについての不等式x-(a+1)x+α < 0, 3x2+2x-1>0 を同時に満たす整数x
がちょうど3つ存在するような定数αの値の範囲を求めよ。
指針
[摂南大〕
基本 37, 117
①まず,不等式を解く。 不等式の左辺を見ると、2つとも因数分解ができそう。
なお,x2(a+1)x+α<0は文字αを含むから,αの値によって場合を分ける。
②数直線を利用して、題意の3つの整数を見定めてαの条件を求める。
CHART
連立不等式 解のまとめは数直線
解答
x²-(a+1)x+a<0 を解くと
a<1のとき a<x<1
a=1のとき 解なし
α>1のとき 1 <x<a
3x2+2x-1>0を解くと
(x-a)(x-1)<0 から
①
(x+1)(3x-1)>0から
x<-1, < x ...... ②
3
① ②を同時に満たす整数xがちょうど3つ存在するの
は α <1 または α>1
の場合である。
02 (1
α=1のとき, 不等式は
(x-1)<0
これを満たす実数 x は
存在しない。
実数 A に対し
A≧0は常に成立。
A'≦0 なら A=0
A'<0 は 不成立。
[1] α <1のとき
3つの整数xは
x=-4, -3, -2
よって -5≦a-4
[2] α>1のとき
3つの整数xは
x=2,3,4
[1]
[2]
-51-4-3-2-1 0 1
x
a
3
'13
-101 2
4
x
よって 4<a≦5
小 1
a
3
[1], [2] から, 求める α
の値の範囲は
-5≦a<-4,4<a≦5
3章
<-5<a<-4としないよ
うに注意する。
a<x<-1の範囲に整数
3つが存在すればよいか
ら, α=-5のとき,
-5<x<-1となり条件
を満たす。
[2]のα=5のときも同
様。
13
2次不等式
不等号にを含むか含まないかに注意
上の例題の不等式が x2-(a+1)x+a≦0,3x2+2x-1≧0となると, 答えは大きく違ってく
る (解答編 p.96 参照)。 イコールがつくとつかないとでは大違い!!
-850 (0)=(x2)
xについての2つの2次不等式
x²-2x-80,x2+(a-3)x-3a≧0
を同時に満たす整数がただ1つ存在するように, 定数 αの値の範囲を定めよ。
p.219 EX86
