例題太郎さんと花子さんは次の証明問題について話している。 二人の会話を読んで下の
問いに答えよ。
問題 直角三角形の斜辺の長さが自然数c, その他の2辺の長さが自然数 a, b であるとき, a,
b, c のうち少なくとも1つは5の倍数であることを証明せよ。
花子:直角三角形の3辺の長さといえば,三平方の定理だね。 斜辺の長さが c, そ
A
の他の2辺の長さがそれぞれα, bだから問題は「自然数 α,b,c が
a2+b2=c2 を満たすとき, a, b, c のうち少なくとも1つは5の倍数である」
という性質を証明することだね。
C
b
B
a
太郎:こんな性質があったなんて知らなかったよ。本当に成り立つのかな。
花子: 例えば, a=3, b=4,c=5のときは,cが5の倍数になっているね。
太郎: 他にアのときもこの性質が成り立つよ! どうやらこの性質は成り立つようだね。 じゃ
あ、どうやって証明すればいいだろう。 5の倍数であることを証明するから, mを自然数と
してα=5mとおいて考えればいいかな。
花子: それだと,その後どうすればいいかわからないよ。こういうときは,授業で習った 「背理法」
を使えばいいんじゃない?
太郎 : 「命題が成り立たないと仮定して, 矛盾を導く」という証明方法だったから,「 A a,b,
chi B を満たし,C」と仮定すればいいね。
(1)
アに当てはまる最も適当なものを,次の①~③のうちから一つ選べ。
⑩a=1,6=2,c=√5
① a=1,6=2,c=3
② a=8,615,c=17
③ a=13,6=12,c=5
(2)
A
B C に当てはまる組み合わせとして最も適当なものを、次の①~③のうちか
ら一つ選べ。 イ
A
B
2+b2=c
⑩ 自然数
① 自然数
2
②
自然数
C
自然数 ' +62≠c2
③無理数
a² +b² c²
²+62=c
a2+b2=c
a, b, c のうち少なくとも1つは5の倍数でない
a, b, c のうち少なくとも1つは5の倍数である
a, b, c のいずれも5の倍数でない
a, b, c のうち少なくとも1つは5の倍数である
数学- 10
