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基本例題 80 2点間の距離
000
3点A(5+4i),B(3-2i), C(1+2i) について,次の点を表す複素数を求めよ。
(1)2点 A,B から等距離にある虚軸上の点P
(2)3点A, B, Cから等距離にある点 Q
p.417 基本事項 4
CHART | SOLUTION
複素数平面上の2点A(a),B(β) 間の距離 AB=|ß-a|
B-a=p+gi (p, q は実数) のとき
\B-al=lp+gil=√2+q2
(1) 虚軸上の点をP(ki) (k は実数) とおき
AP=BP
AQ=BQ=CQ
(2) Q(a+bi) (a, b は実数) とおき
解答
(1) P(ki)(k は実数) とすると
AP2=|ki-(5+4i)|= (-5)+(k-4i
=(-5)2+(k-4)2=k-8k+41
BP²=|ki—(3—2i)|²=|(−3)+(k+2)i|²¯¯
=(-3)2+(k+2)²=k+4k+13
AP=BP より AP2=BP2 であるから
「は実数」の断りは重要。
YA
P
A
0
x
B
idtp:
k2-8k+41=k+4k+13
これを解いて
k=
したがって,点Pを表す複素数は
7
(2) Q(a+bi)(a, b は実数) とすると
1/32
AQ²=(a+bi)-(5+4i)|²=|(a−5)+(6-4)i|2
=(a-5)2+(6-4)2
10
BQ²=|(a+bi)-(3-2i)²=|(a-3)+(b+2)i|2
=(a-3)2+(6+2)2
CQ2=(a+bi)-(1+2i)=(a-1)+(6-2)i
=(a-1)+(6-2)2
AQ=BQ より AQ'=BQ2 であるから
(a−5)²+(b−4)²=(a−3)²+(b+2)²
整理すると a+36=7
......
BQ=CQ より BQ2=CQ2 であるから
(a-3)+(b+2)²=(a-1)+(b-2)^
②
整理すると a-2b=2
①,②を解くと a=4,6=1
したがって, 点Qを表す複素数
73
AP≧0, BP≧0 のとき
AP=BP⇔AP2=BP2
← a, b は実数」の断りは
重要。
YA
A
0
B
inf. AABC là Cbi
の直角二等辺三角形で
あるので求める点は辺
