222
(1)
2
200
725 空間ベクトルの内積ん
【例題
どの辺の長さも2である正四角錐 OABCD において, OA =a, OB=b, OC =c とする。
点をMとするとき
(1) MB, MC をそれぞれ,,こで表せ。
(2)内をそれぞれ求めよ。
(3) 内積MB・MC を求めよ。
CHECK
のときのなす角を
(0° 180°) とすると
ab=a||b| cos 0
(2)
0
60°
2
726 空間ベクトルの!
例題
次のベクトルαの内積とそのなす角0を
(1) a= (1,1,-1), 6= (1, -1,√6)
(2) a=(2, 3, 5), b=(2, -3, 1)
CHECK
a= (a, az, α3), 6= (b1, bz, 6s) のと
ab=ab₁+ab+a3b3
1 a
める。
またはのときはとこの内積をd = 0 と定
以下
とする。
なす角を
A
②
①aa=|a|a|cos0°=|a|
AOAB は1辺の長さが2の正三角形であるから、
a-b=|a||b| cos 60°
(0°0 180°) とすると
a-b
cos =
Tab
平面のときと同様に,次が成り立つ。
②ab=ba
3 (a+b)·c=a.c+b.c
a (b+c)=a+b+ac
6 (ka) b=a (kb)=k(a+b)
ただしは実数
【解答】
D
2/2
=2・2・1
=2圈
b-c=|b||| cos 60°
=2・2・
2.1/2
2圈
ca=|cl|a| cos 90°
=0圈
(3) MB· MC = (6-1)·(c)
----+-)+
-2-1/2×2+1×2
ab+ab+ast
a+a+ab₁²+
と表すことができる。
[解答]
(1) 内積は
また、
d=1×1+1×(-1)+(-1)×√6
=-√6
|a|=√12+12+(-1)^
=√3
16=√12+(-1)^2+(√6) 2
=√8=2√2
B
MB=OB-OM-6-a
MC=OC-OM-ca
=2
よって、
COS 0=
a-b
a = 0, 0 のとき、ことのなす角を
(0°180°) とすると
ab=a||b| cos 0
空間においても,内積の性質は、平面のときと同様
に成り立つ
-√6
√3×2/2
--15
2
180°であるから、
0120°
