7 αを正の実数とし, 2次関数y=-x+6xのa≦x≦2a における最大値を M 最小値を
mとする。
(1) a=2のとき,M-m=
である。
(2)M ≧ 0 であるとき, αのとりうる値の範囲は
である。
(3)M-m=12のとき, a=
である。
[23 関西学院大学 ]
解説
f(x)=-x2+6x とおくと
f(x)=-(x-3)²+9
(1) a=2のとき定義域は2≦x≦4であるから, f(x) はx=3で最大値9をとり,
x=2, 4で最小値8をとる。
よって
M-m=9-8=1
(2)y=f(x) (x≧0) のグラフは図のようになる。
図より M≧0となるのはα>0よりa≦6のときである。
よって 0<a≤6
(3)02a≦6 すなわち 0<a≦3のとき
0<a<2a<6であるから
0<M≤9, 0<m<9
よって, M-m=12となることはない。
したがって, 0<a≦3は不適。
以上より,>3のときを考えればよい。
A.
3
6 x
a>3のとき,g(x)はa≦x≦2a においてx=αで最大値をとり, x=2aで最小値をと
る。
よって
M-m=f(a)-f(2a)=-a2+6a-{-(2a)'+6 (2a)}=3a26a_
ゆえに
3a2-6a=12
これを解いて
> 3より
a=1±√5
a=1+√5
