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やってみよう! 応用問題
動く点と立体の体積 関数 y%3arと一次関数
(福井)
図のように、AB=5cm, AD=3 cm, AE=4cmの直方体がある。
点Pは, 頂点Aを出発して、対角線 AH.辺 HG. GF, FE, EA上をA→H
→G→F→E→Aの順に毎秒2cmの速さで動き、頂点Aに達したところで停止する。
点Qは、頂点Aを出発して, 辺AB, BC上を, A→B→C→Bの順に毎秒1cm
の速さで動き,点Pが停止すると同時に停止する。2点P, Qが同時に頂点Aを
出発し、出発してからェ秒後の三角錐 PDAQ の体積をy cm'とする。ただし,
エ=0 のとき,y=0 とする。
このとき,次の問いに答えよ。
(1) 点Pが対角線 AH上にあるとき,
H
E
\ c
6 D
A
0 xの変域を求めよ。
三平方の定理より, AH=V4°+3° =\25 =5(cm)
AD=3, DH=4で, ZADH=90°だから,
5
0SxS
2
の
点Pは毎秒2cmで進むから, AH 間は一秒で通過する。
2 x=2のときのyの値を求めよ。
AP=4 AQ=2 点Pの辺 ADからの高さは, 4×=D (cm)
5
2
16
2
y=
16
5
5
1
よって, y=
16
-×3×2×-
5
4
2
16
3 y=
5
5
3 yをェの式で表せ。ADAQを底面とすると,高さは一×2.r=x
8
2の変域
よって、リ=××3×x×ォ=
8
-エ
5
2
5
5
<xS5
(2) 点Pが辺HG上にあるとき, エの変域を求めよ。また,そのときのyをェの
式で表せ。AG間は 10 cmだから, 点Pは5秒後にGに達する。
このとき,点Qは辺 AB上にあり, ADAQ を底面とする三角錐 PDAQ
リ=
2.c
1
-×3×ェX4=2c
の高さは, DH=4 よって, y=×。
(3) 5SrS9のとき, zの値に関係なく,yの値は一定になることを言葉や数、
51
5,
秒後
5
式などを使って説明せよ。
(説明)(例) 三角錐 PDAQの底面を△DAQ とみると,
占Pは辺 GF,辺 FE上を動くので,三角錐誰の高さは
4(cm)で一定である。また,点Qは辺 BC上を動くので、
(1)0 AADH は辺の比が
3:4:5直角三角形。
2 PからADに垂線PI
をひくと,PI: HD=
×3×5= (cm)で一定である。 した
15
AP:AH PI:434:5
2
15
X43D10om3\-
2
より、PI=
16
%D
-(cm)
ふくって
1はーx
5
