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重要 例題 100 等差数列と等比数列の共通項
数列{an}, {bn}の一般項を α=3n-1,bn=2" とする。 数列{bn} の項のうち、数
列{an}の項でもあるものを小さい方から並べて数列{C} を作るとき, 数列{C}
の一般項を求めよ。
指針 2つの等差数列の共通な項の問題 (例題93) と同じように,まず, 4=bm として、lとmの
関係を調べるが,それだけでは {cn}の一般項を求めることができない。
そこで,数列{an}, {bn} の項を書き出してみると,次のようになる。
{an}:2,5,8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, ......
{bn}:2,4,8, 16, 32, ･･
ゆえに
a=b, Ca=by, cy=b, となっていることから,数列{bn} を基準として, bm+1 が数列{4)
さらにの頃となるかどうか, bm+2が数列{an}の項となるかどうか
….……….
を順に調べ、規則性を
見つける。・・･････
解答
α1=2, b=2であるから C1=2
数列{an}の第1項が数列{bn}の第m項に等しいとすると
3l-1=2"
bm+1=2m+1=27.2=(3L-1)・2
重要 93 基本 99
=3-21-2
自よって, bm+1 は数列{an}の項ではない。
①から
bm+2=26m+1=3.41-4
=3(4-1)-1
] ゆえに, bm+2 は数列{an}の項である。
したがって
{C}:61,63,65,
数列{cn}は公比22の等比数列で, C1 = 2 であるから
cn=2.(22) "1=22n-1
22"=4"=1"≡1(mod3)
[2] m=2n-1(nは自然数) とすると
an=30-1
<30-1 の形にならない。
4n
cm=2 などと答えても
検討 合同式(チャート式基礎からの数学A 参照) を用いた解答
3n-1=-1=2 (mod3) であるから 22 (mod3) となるmについて考える。
[1] =n(nは自然数) とすると
22n-122(n-1).2=4n-1.2=1"-1.2=2 (mod3)
[1], [2] より m=2n-1 (nは自然数) のとき2” が数列{C}の頃になるから
Cn=62n-1=22n-1
数列{an},{bn}の一般項をan=15n-2, bn=7.27-1とする。 数列{bn} の項
コち, 数列{an}の項でもあるものを小さい方から並べて数列{C} を作るとき,
{ cm}の一般項を求めよ。
