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基本例題 33 多くの式の大小比較
a> 0,60,a=6のとき,
解答
! √ab
よって
指針 4つの式の大小を, 2つずつ ( 4C2=) 6通り全部比較するのは面倒である。
そこで, a>0, b>0 を満たす数 α=1,b=3 を代入してみると
2ab 3
a² +6²
-=2, √ab = √3,
a+b
2ab
よって,
a+b
この予想をもとに, 2つずつ大小関係を決めていく。
【CHART 多くの式の大小比較 予想して証明する
2ab
a+b
参考
a+b
2
√ab >
また、
練習
③33
<√ab <a+b
√√ a² + b² >0₁ a+b>
V
2
2
①~③から
√ab (√a - √6)² >0
a+b
2ab
a+b
り立つ。 すなわち
2ab
a+b
a+bab2ab
αキb と (相加平均) (相乗平均) によりa+b
2
√ab(a+b)−2ab __ _√ab(a+b−2√ab)
a+b
a+b
2ab
a+b
2 VT 2
①
>0から
_
x (√√ a² + b³² )" - (a + b)²_a²+ b² _ (a+b)² _ (a−b)²
2
4
4
a²+62
<√ab <a+b
2
a² +6²
2
(2)0<a<b<c<dのとき,
(1)0<a<b,a+b=1のとき,
a+b' V
a
d'
2 V 2
1
2'
であると予想がつく。
a+b
2
a² +6²
2
C
b
2 >√ab
af
ac
a² +6²
上の例題において, a=bのときは, ①, ②, ③ それぞれで> を=におき換えた等式
2ab
a+b
bd'
= √5
a+b
2
(3)
a=bのとき
√ab=
は逆数の相加平均の逆数である。これを調和平均という。
の大小を比
基本2
2
1 1
+
a
b
上の例題の結果とAから,一般に,a> 06 > 0に対して次のことが成り立つ。
◄ab=(√ab)²
a+c
√ab >0, √a-√i
5 (√a-√6)²x1
440CM CA
18303450
を含むから、平
->0を比較。a-b=0
a=bから、等号不
(調和平均) (相乗平均) (相加平均) (等号が成り立つのはα=6のとき)
a=bのとき。
a² + b²
2
カロ
A
a,b, zaba²+62 の大小を比較せよ。
