基本 例題105 数列の極限 (4)・・ はさみうちの原理
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00000
COS Nπ
(1) 極限 lim-
を求めよ。
2012
12
1
(2) an=
+
n2+1
1
n2+2
+......+
1
n²+n
とするとき, lima を求めよ。
p.174 基本事項 [3]
4章
指針 極限が直接求めにくい場合は、はさみうちの原理 の利用を考える。
14
はさみうちの原理 すべてのn について ansen ≦ bm のとき
lima=limb =α ならば limc=α (不等式の等号がなくても成立)
00
→co
8111
COSπ
(1) an≤-
n
bm の形を作る。 それには, かくれた条件-1≦cos01 を利用。
THARD
1
(2)
n²+k
1/12 (k=1, 2,...,n)に着目して、4mの各項を 12/13 におき換えてみる。
CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち
解答
111であるから
COS Nπ
各辺をnで割る。
n
n
n
1-1)=0,lim1/2=0であるから
(2)
n-con
11/23s(k=1, 2,...,
12-00
n) であるから
COS Nπ
lim
0
はさみうちの原理。
n
An²+k>n2>0
n²+k
1
1
a=
+
+ +
n2+1 n2+2
n2+n
n²
<+
1
1
1
+...+ =
•n=
n²
n2
n²
n
よって0<a<
1
lim
=0であるから lima=0
8
n
n
検討はさみうちの原理を利用するときのポイント
■各項を12でおき換える。
40≤lima,≤0
数列の極限
はさみうちの原理を用いて数列{c} の極限を求める場合、次の① ② の2点がポイントとなる。
② 2つの数列{an}, {6}の極限は同じ これをαとする)。
①≦bを満たす2つの数列{an}, {bm} を見つける。
なお、①に関して、数列{a}, {bm} は定数の数列でもよい。
105
次の極限を求めよ。
(1)lim-
1
sin nπ
=>
① ② が満たされたとき
limcn=α
00
1
1
(2)
++
(n+2)2
(2m) 1001
