媒介変数表示の曲線と面積(1)
基本例題 244
重要 175 重要 245 00000
(osts 7 ) と表される曲線とx軸で
[福岡大〕
FEOME
いちよしにな
指針 媒介変数t を消去してy=F(x) の形に表すこともできるが, 計算は面倒になる。
そこでx=f(t), y=g(t) のまま, 面積Sを 置換積分法で求める。
1 曲線とx軸の交点のx座標 (v=0となるもの値)を求める。
媒介変数tによって, x=4cost, y = sin2t
囲まれた部分の面積Sを求めよ。
解答
②tの変化に伴う、xの値の変化やりの符号を調べる。
③3面積を定積分で表す。 計算の際は、次の置換積分法を用いる。
s=Sydx=Sg(t)f(t)dta=f(a), b=f(B)
π
RECEP
0≤t≤
① の範囲でy=0 となるtの値は
また、①の範囲においては、 常に y ≧0である。
dx
x=4costから
-4sint, dx=-4 sintdt
dt
y=sin2t から
dy
dt
=2cos2t であり、
==
π
とすると
dt
ゆえに,右のような表が得
られる(は減少は増
加を表す)。
よってS=Sydx/
=S₁sin2t· (–4
2
t
dx
dt
2t.(-4sint)dt
=45** sin2t sintdt
=8f5d sin' tcostdt
8
-* - - in²":1² - 3
-sin
=
xは単調に変化
dy
0
4
+
0
...
+
K
y₁
π
2√2
0
1
72
t=0,
7
2√2
π
2
π
2
(t=0)
4
xtの対応は次のようにな
る。
t 0 →
π
った
2
x 4 → 0
8章
She sin' t(sint)'dt
38
面
積
また、Ostsではy≧0で
あるから, 曲線はx軸の上側
のがある。
面積の計算では、積分区間・
上下関係がわかればよいの
だから、左の解答のように,
増減表や概形をかかなくても
面積を求めることはできる。
しかし、概形を調べないと面
積が求められない問題もある
ので,そのときは左のように
して調べなければならない。
12
ル
