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3次方程式 x9x2+24x-k=0 が3つの実数解 α,B,y
00000
308
基本 例題 196
3次方程式の実数解のとりうる値の範囲
(a<B<y)
をも
つとき,次の問いに答えよ。
(1) 定数の値の範囲を求めよ。
CHART & SOLUTION
(2) α, B, yの値の範囲を求めよ。
方程式 f(x)=k の実数解のとりうる値の範囲
p.306 基本事項 基本 195
(大井)
曲線 y=f(x)と直線 y=kの共有点のx座標を調べる
まず, 方程式を f(x) =k の形にする。
は色の
(1) 曲線 y=f(x) を固定し, 直線 y=k を動かしながら, 異なる3つの共有点をもつの
値の範囲を探る。できになるはずである。 その0にな
(2) 異なる3つの共有点をxの値の小さい方から順にα, β, yとして, それぞれのとりうる
値の範囲を求める。
解答
(1) 方程式を変形して
り立たない
<2で考えると(-1)=(1)
0120(すなわち(-2)(2)>である(2)
x-9x²+24x=k) \
f(x)=x3-9x2+24x とすると大番へ
f'(x)=3x²-18x+24=3(x²-6x+8)=3(x-2)(x-4)
定数を分離して,y=k
というx軸に平行な直
線として考える。
基本例
3次方程式
囲を定めよ。
CHART &
方程式を f
Ⅲの知識が
べる。 実数
よいだろう
解
合
f(x)=x
y=f(x)
f'(
f'(x)=
増減表
極
極
y=f(_
f'(x) =0 とすると
x=2,4
x
...
2
4
3
増減表から, y=f(x) のグラフは右下の図のよ
f'(x) +
0
0
+
f(-v
うになる。
方程式の異なる実数解の個数が,このグラフと
直線 y=k の共有点の個数と一致する。
実数解の数=共有点の数
f(x)
極大
極小
f(-
20
16
-2a
a>0
よって、グラフから共有点を3個もつときは
16<k<20
ya
(2) f(x)=16 となるxの値は
y=f(x)小値の他に f(x)=16
(x-4)(x-1)=0 から
x=1,4
となるxの値を求める。
201
f(x) =20 となるxの値は
16-7
y=k
(x-2)2(x-5)=0 から
(1)から 16 <k < 20
x=2,5
3次方程式はx=4 の
重解をもつことを利用。
f(x)=20も同様。
[
O
方程式の異なる実数解は曲線
y=f(x) 直線 y=k の共有点のx座標と一致する
12 B 45 x (x)=x
共
α<B<y であるから,グラフより
1<a<2,2<B<4,4<x<5
PRACTICE 196Ⓡ
3次方程式 x12x+k=0 が3つの実数解 α, β, r (a<β<y) をもつとき、次の問
いに答えよ。
(1) 定数kの値の範囲を求めよ。
(2) α, β, yの値の範囲を求めよ。
