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基本例題 49 ベクトルの大きさの最小値など
(1) = 2,1,1)=(1,2,-1) とする。 ベクトルa+t6 の大きさが最小に
なるときの実数t の値と, そのときの大きさを求めよ。
(2) 定点A(2, 0, 3), B(1, 2,1) と, xy平面上を動く点Pに対し, AP + PB
in Auto Limy ad
の最小値を求めよ。
指針(1) はとして扱うに従い, la+t6 の最小値を調べる。
la +坊はもの2次式になるから、基本形α(t-p)' +α に直す。
(2) 平面上では,
折れ線の最小 対称点をとって1本の線分にのばす
に従い、右の図のようにして
AP+PB=AP+PB'≥APo+PoB'=AB'
から, 折れ線 AP + PB の最小値は AB' であるとして求めた。
空間においても同様の考え方で求められる。
\2
=6²²+6²+6=6(t+1) + 2/
AP+PB=AP+PB'≥AB'
よって,Pとして直線AB' と xy平
面の交点Pをとると AP + PB は最
小となり, 最小値は
解答
DE=AB
(1) a+tb=(2, 1, 1)+t(1, 2, -1)=(2+t, 1+2t, 1−t) p.397 基本例題 9 と同じ要
|a+tb² = (2+t)²+(1+2t)²+(1−t)²
BUS
ゆえに
A
領の解答｡
-x)=100
I+v046t²+6t+6
= I=0=6(t²+t) +63
よってはt=-123のとき最小となり,196{(1+1/1)-(1/2)+6
-80
la +t6 | ≧0であるから la +66 | もこのとき最小になる。
したがって
t=
1-1/2のとき最小値 1/12/2=14/12
9
3
V
√√2
(2) xy平面に関してAとBは同じ
側にある｡
そこで、xy平面に関して点Bと対
称な点をB' とすると B' (1, 2, -1)
であり, PB=PB' であるから
x
2
A
-3
1-.
OB
Po
AB'=√(1-2)2+(2-0)'+(-1-3)^=√21
RUPARETE RRUSHINT
FODA. 基本 9, 数学Ⅱ重要 87
"B'
12
A
P
y
B
[参考] la +6 | が最小になる
のは、at」のときであ
る。 .397 参照
z座標がともに正であるか
ら。この断りは必要。
(検討)
A
「2点間の最短経路は、2点を
結ぶ線分である｡｣
(2) ではこのことを利用する。
となる。
LN 957/5 3
2
(CAD [S]
