疑問
11 極方程式 (III)
ry平面上に2点A(a, 0),B(-a, 0) (a>0) が与えられているとき,
次の問いに答えよ.
(1) P(x,y)が PA・PB=α をみたすとき,,yの関係式を求めよ.
(2) 原点を極軸の正の部分を始線とする極座標を考えるとき,(1)に
おける点Pが描く曲線の極方程式を求めよ.
(3)(1) で求めたPの軌跡は'y's2a2 が表す領域に含まれることを
示せ.
精講
(2)7 ポイントIを利用すれば, 直交座標 (x, y) で表された図形
は,極座標 (r, e) を用いて表せます。
(3)ya に含まれる」 とは何を示せばよいのでしょう
か? 7ポイントⅡによれば, r2=x2+y^ ですから,「re≦2a² を示す」こと
になりそうです。
解答
(1) PA=√(x-a)2+y^, PB=√(x+α)'+y^ だから,19
PA・PB= α より
{(x-a)2+y^}{(x+a)2+y^}=a^
{(x2+y^)+(a2-2ax)}{(x2+y^)+(a2+2ax)}=a^
(x²+ y²)²+2a²(x² + y²)+a²-4a²x²=a
.. (x²+y²)²−2a²(x²-y²)=0......(*)
注うかつに展開してはいけません. ' + y' を keep しながら変形し
ていくところがコツで,極方程式に変形するつもりなら絶対です。
(2) x=rcoso, y = rsin0 とおくと
.
x+y=r2, x-y'=r"(cos'0-sin'0)=rcos20
4-2a²recos20=0
ゆえに, 72=0
=0 または
:.2(2-2a²cos20)=0 (*)に代入
r2=2a2cos20
ここで, r2=0 は, r2=2acos20 に含まれるので
r2=2a2cos20
