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基本 例題 118 最大公約数・最小公倍数と数の決定 (1)
00000
次の条件を満たす2つの自然数 α, bの組をすべて求めよ。 ただし, a<b とする。
(1) 和が192, 最大公約数が16
/(2) 積が375, 最小公倍数が75
解答
指針
2つの自然数α,bの最大公約数をg, 最小公倍数を1とし
a=ga', b=gb' とすると
'と'は互いに素
2 1=ga'b'
3ab=gl
が成り立つ (最大公約数と最小公倍数の性質)。これを利用する。
p.525 基本事項 国
自然数α, もの表現
a=ga′, b=gb'
('6'は互いに素)
(1)条件から,a=16,6=166' ('<') とすると,1よりα,Bは互いに素な自然数
となる。和の条件16α' + 166'=192 を満たすα', 8'の組を,'<'d','は互い
に素な自然数であることに注意して求める。
(2)まずを利用して最大公約数 g を求める。次に,a=d', b=b'は求めた最
大公約数)として,2によりα'' の値を求める。 (1) 同様, 1にも注意する。
CHART 2数の積=最大公約数×最小公倍数
(1)最大公約数が16であるから, a, b は
a=16α', b=160′ と表される。
ただし,','は互いに素な自然数で a' <b'
和が192 であるから 16α′'+166'=192
すなわち
α'′ +6' =12...... ①
←ab=gl
<1 を利用。 a<bから
α'<B となる。
① を満たす, 互いに素である自然数α', b' (a' <b') の組①の右辺12に注目する
(a', b')=(1,11), (5, 7)
は
したがって (a, b)=(16, 176), (80, 112)
(2)最大公約数をg とすると, 積が 375, 最小公倍数が75
であるから 375=g.75
とα' が偶数の場合は不
適。
<a=16α",b=160′
ab=gl (3)
ゆえに
g=5
よって, a=5d', 6=50' と表される。
ただし,d', 'は互いに素な自然数で
a' <b'
1を利用。
ここで, 75=5α'b' が成り立つから
a'6' = 15. ②
1=ga'b' (2)
② を満たす, 互いに素である自然数α', b' (α' <b')の組
は
(a',')=(1,15),(3,5)
したがって (a, b)=(5, 75), (15, 25)
a=5a', b=5b'
練習 次の条件を満たす2つの自然数α,bの組をすべて求めよ。 ただし, a<6とする。
118 (1) 和が175,最大公約数が 35
(2)積が384, 最大公約数が8
(3)最大公約数が8,最小公倍数が240
〔(3) 大阪経大] p.535 EX82、
