赤で丸をつけた所がわからない問題です。 全部でなくてもいいので教えてください。

5 1 焦点が点(60) で, 準線が直線x=-2 である放物線の方程式を求めよ。 p. 34,46 2 楕円 2x2+y2=8 と直線y=mx+4 の共有点の個数を調べよ。 x² 3 楕円 -+y²=1 に内接し, x軸,y軸に 4 平行な辺をもつ長方形の面積をSとする。 Sの最大値を求めよ。 p. 53,54 4 次の媒介変数表示はどのような曲線を表すか調べて, 図示せよ。 [x=t2+1 x=cost (1) |y=t²-3 S y=cos2t 5 中心の極座標が π x2 半径が1である円の極方程式を求めよ。 ←p.48 12x -+y²=1 p.51~54 章末A⑤, ⑥ 6 極座標が (4,0)である点Aを通り,始線となす角が1である直線の極方 程式を求めよ。 章末A⑤, ⑥ 2

例題190に関して、グラフの対称性を利用して範囲を絞っていることはわかるのですが、その際θ＝0およびπにおいてなぜ微分可能なのでしょうか。 188と同様の性質から、範囲を絞っていると推測しているのですが、188で x＝2πのときに微分ができないならば、190のθ＝πについて... 続きを読む

重要 例題 190 関数のグラフの概形 (4) 媒介変数表示 曲線 x=cos o y=sin20 指針 基本は 0の消去。 y2=sin 20=4sin²0cos20=4(1-cos²d) cos'日から,y'=4x2(1-x2) となり,前ページのようにして概形をかくことができる。 しかし、媒介変数が簡単に消去できないときもあるので,ここでは, 媒介変数の変化に伴うx, y それぞれの増減を調べ, 点 (x,y) の動きを追う 方針で考えてみる。 まず, 曲線の対称性を調べる。 解答 cos O, sin 20 の周期はそれぞれ2π, πである。 x=f(0), y=g(0) とすると, f(-8)=f(0),g(-8)=-g(0) であるから, 曲線はx軸に関して対称である。 したがって, ① の範囲で考える。 ① の範囲でf'(0) = 0 を満たす 0 の値は 0 ƒ'(0) x f'(0) = - sine, g'(0) = 2cos20 g'(0) y (グラフ) 0 0 1 (−T≦O≦π) の概形をかけ (凹凸は調べなくてよい)。 _g' (0) = 0 を満たす 0の値は 4'4 ① の範囲における0の値の変化に対応した x,yの値の変化は, 次の表のようになる。 YA 1 : T x ← + + 1 √2 0 ↑ 1 y グラフ π 4 ↑ : ↓ π 2 0 ↓ ↑ - : ← t T ...... 0=0, π 0= 1 √2 0 ↓ 0 ↓ -1 ← π 3 π (*) I π T ← + ← π よって, 対称性を考えると, 曲線の概形は、 右の図。 注意 1. 表の←はxの値が減少することを表す。 また ↑ ↓ はそれぞれyの値が増加, 減少することを表す。 意 2. グラフの形状を示す矢印, , , は x,yの増減 に応じて、下の表のようになる。 0 -1 + 基本 187,188 0 (*) 0=α に対応した点を (x,y) とすると,0=-α に対応した点は(x,y) よって, 曲線はx軸に関し て対称である。ゆえに, 0≦OSTに対応した部分と 00に対応した部分 は,x軸に関して対称。 √2 8=R 0 21 8= T! 1 A=1 v2 100 -1 1

1通りは解いてみたのですが、等号成立までどうやって解いているのかが分かりません。どなたか教えてくださると嬉しいです。解答も載せておきます。

4 aを正の数とする。 zy 平面において, 点 A (a,0) をとり, C を双曲線 ²-43²-4 とし, C2を双曲線²4²=4 とする。 以下の問いに答えよ。 (1) 点PがC1 上にあるとする。 このときAPを最小にする点Pとその最小値を 求めよ。 (2) 点PがC2 上にあるとする。 このときAP を最小にする点Pとその最小値を 求めよ。 (3) 点PがC1または C2上にあるとする。 このとき点 (2,0) が, AP の最小値を 与える点Pとなるようなaの値の範囲を求めよ。

数学です。 教えて頂きたいです。

問2 次の各問に答えなさい。 答えだけでなく、過程も記述すること。 (1) 極限値を求めなさい。 sin 2 lim (2) 次の媒介変数表示の関数について、 t=2に対応する点における接線の方程式を求めなさい。 12 1+1² x = t = 1+t! (3) 次の積分値を求めなさい。 [r³e

⑴の質問です。 △BAC相似△BMNより AM:MB=CN:NB=2:3 OMベクトル=(3aベクトル+2bベクトル)/5 ONベクトル=(2bベクトル+3cベクトル)/5 よってMNベクトル=ONベクトル-ONベクトル=(3aベクトル-3bベクトル)/5 ではいけない... 続きを読む

434 00000 基本例題 33 直線のベクトル方程式, 媒介変数表示 (1) 3点A(a), B (6), C(c) を頂点とする △ABCがある。 辺ABを2:3に 分する点 M を通り,辺 AC に平行な直線のベクトル方程式を求めよ。 (2)(ア) 2点(-3, 2), (2, -4) を通る直線の方程式を媒介変数tを用いて表せ。 p.432 基本事項①) (イ) - 指針▷ (1) t を消去した形で表せ。 (ア)で求めた直線の方程式を, 内見の 定点A(a) を通り, 方向ベクトルの直線のベクトル方程式はp=a+ta ここでは,M を定点,AC を方向ベクトルとみて、この式にあてはめる(結果はこ cおよび媒介変数t を含む式となる)。 (3)8 (6)A $ASOCI (2)(ア)2点A(),B() を通る直線のベクトル方程式は =(1-t)+to b=(x,y), a=(-3, 2) =(2, -4) とみて,これを成分で表す。 ⑤ 解答 (1) 直線上の任意の点をP(n) とし, tを媒介変数とする。 3a +26 M(m) とすると m 5 辺 AC に平行な直線の方向ベクトルはACであるから > p=m+tAC= +t(c-à) 3 b=(³ −t)ã+²b+tc (t ‹£#^T*) は媒介変数) 5 整理して 125 3a+26 5 t=-1 KEPD) P(p) (Aa) A(a) 27 FOR M(m) [t=0 LAG J123>0 st=1 B(b) (+3a+26 p= 5 c-a C(c) +t(c-a)

数Bベクトル (2)のアなのですが丸のところを逆にしたら間違えでしたっけ？

基本例題 33 直線のベクトル方程式,媒介変数表示 (1) 3点A(a), B(L), C(c) を頂点とする △ABC がある。 辺ABを23に内 分する点 M を通り,辺 AC に平行な直線のベクトル方程式を求めよ。 (2) (ア2点(-3,2), (2, -4) を通る直線の方程式を媒介変数を用いて表せ。 (イ) p.432 基本事項①) 指針 (1) 定点A(a) を通り, 方向ベクトルの直線のベクトル方程式は=a+td ここでは, M を定点, AC を方向ベクトルとみて、この式にあてはめる (結果は、 こおよび媒介変数t を含む式となる)。 A (2) t を消去した形で表せ。 (ア)で求めた直線の方程式を, t 2点A(a), B() を通る直線のベクトル方程式は=(1-t)a+ p=(x,y), a=(-3, 2), =(2, -4) とみて,これを成分で表す。 解答 (1) 直線上の任意の点をP(n)とし, tを媒介変数とする。 3a +26 5 M (m) とすると m= 辺ACに平行な直線の方向ベクトルはACであるから 3a+26 p=m+tAC= +t(c-à) 5 = よって (x,y)=(1-t)(-3,2)-(2-4) =(5t-3, -6t+2) x=5t-3 整理して b=(²³ −t)ã+ ²/b+tc († 1±#^TB) (2)(2点(-3, 2), (2,-4) を通る直線上の任意の点の座でもよい。 標を(x,y) とすると t=-1 <BP(p) (Aa) =(-3(1-t)+2t, 2(1-t)-4t)414 30 ...... ・②とする。 (イ) x=5t-3 ・ ①, y=-6t+2 ① x6+② ×5 から 6x+5y+8=0 M(m) 123 B(6) ( t は媒介変数) y=-6t+208 JJSSEL C(C) I2X>0 p=3a+25 +t(c-à) 5 t=0 c-a t=1 P(x,y), A(-3, 2), B(2, -4) とすると, OP=(1-t)0A+tOB と同じこと (Oは原点)。 各成分を比較。 を消去。 [参考] 数学ⅡIの問題として, (2) を解くと, 2点(-3,2),(2, -4) を通る直線の方程式は, -4-2(x+3) から 6 8 y=-5 y-2= XC 5

３番です、１枚目の下線３行はどういうことでしょうか？ また、２枚目、解説にこのような図形があるのですが、３番の問題文からなぜこのような図を考えられるのですか？ また、問題文冒頭の球面Cの2次式がどのような図なのかあまりピンときません。

167 球と直線 座標空間内に,球面 C:x2+y^+z2=1 と直線があり、直線 1は点A(a, 1, 1) を通り, =(1,1,1) に平行とする.また, a≧1 とする.このとき、 次の問いに答えよ. (1) 上の任意の点をXとするとき, 点Xの座標を媒介変数tを 用いて表せ. (2) 原点Oから Hの座 に下ろした垂線との交点をHとする. 標をαで表し, OH をαで表せ. (3) 球面Cと直線が異なる2点P, Qで交わるようなaのとり うる値の範囲を求めよ. (4) (3) のとき,∠POQ=90° となるαの値を求めよ. |精講 (1) A(No, yo, Zo) を通り, ベクトル=(p,q,r) に平行な直 線上の任意の点をXとすると, OX = (xo,yo, Zo)+t(p,q,r) と表せます. (2) Hは上にあるので, (1) を利用すると, OH がα と tで表せます. そのあと, OH・u=0 を利用して, t をαで表します. (3) 球面Cと直線が異なる2点で交わるとき OH < 半径 が成りたちます. (4) POQ90 OP･OQ=0 と考えてしまっては, タイヘンです。 それは,PとQの座標がわからないので, OP, OQを成分で表せないから です。座標やベクトルの問題では, 幾何の性質を上手に使えると負担が軽く なります。 解答 (1) OX=OA+tu=(a, 1, 1)+(t, t, t) =(t+a, t+1, t+1) U X(t+a, t+1, t+1)

この問題では、パラメータs、tを用いていますが、パラメータtだけでは解けないのでしょうか？また、tだけを使う場合とtとs両方使う場合の見分け方を教えて欲しいです！

94 第3章 図形と方程式 練習問題 16」 点A(60)円x2+y2 = 9 がある. 点Qが円上を動くとき,線分 AQ を2:1に内分する点Pの軌跡を求めよ. 精講 練習問題 15 の別解と同様に、2つのパラメータを使って解いてみ ましょう.点Pの座標を(X,Y) とし, 点Qの座標を(s,t)と2 つのパラメータを用いて表します. 次に, X, Y を s, tを用いて表し,s,t の満たす関係式を用いてs, tを消去します。 解答 P(X,Y), Q(s, t) とおく. Pは線分AQ を 2:1に内分する点なので, X= Y= すなわち 1.6+2.s 2+1 X = 2s+6 1.0+2.t 2+1 Y= これを stについて解くと これに①を代入して 2t 3 s=3X-6, 1-3Y S= t= 2 2 点Q(s,t) は円x²+y'=9 上を動くので, s2+f2=9 x² + y² =9 内分の公式 3X-612 (3x2=6 )² + (³x)² = 9 < 3Y\² 2 14 (x-2)+12712=9 34 0 y P 3 (X-2)^+Y2=4 したがって, 点Pの軌跡は, 円 (x-2)^2+y^=4(中心 (2,0), 半径2の円) O ….…….. ① <s, t を X, Y を用いて 表すのがポイント (³X₂-6) ² - { // (x-2)}) =(x-2)² 展開せずにそのまま円の [標準形にしてしまおう 2 3 4 6 I

黄色の蛍光ペンで引いている部分が分かりません。 OPベクトルは異なる2点を通っているので、直線Lの方程式はOPベクトル＝（1−t）OAベクトル＋tOBベクトルだと思ったのですが、なぜOPベクトル＝OAベクトル＋tOBベクトルとなるのですか。

A 239 空間内に3点 A (1,2,3),B(3,5,2), C (1, 2, 1) がある。 点A, B を通 る直線をeとしたとき、点Cとの距離が最小となるe上の点の座標を求めよ。 ¥240 空間ベクトル α = (2,1,-2), 6 =(3,-2, 6) に対して, c=ta +6 (tは実数) とする。 [13 早稲田大]* | | の最小値を求めよ。 がことのなす角を2等分するときのtの値を求めよ。 ☆ [09 名城大]* (2) s の値を求めよ。 S 241 四面体OABC に平面 α が OA, AB, BC, OC とそれぞれP,Q,R, S で OP: PA=AQ: QB=BR: RC=1:2 を満たすように交わっている。 d = OA,B,C=OC と OS = sc とおく。 (1) PQ, PR, PS をs, a,b,c を用いて表せ。 2 16:10 ABI-LACI²-AP 4607 [12 大阪府立大] ★242 0 を原点とする座標空間に 3点A(2,0,0), B (0, 5,0),C(0, 0, がある。 原点Oから△ABC へ垂線を下ろし、 △ABC との交点をHとする。 (1) △ABCの面積を求めよ。 (②2) OH の長さを求めよ。 B 243 四面体OABCの各辺の長さをそれぞれ AB=√7, BC=3,CA=√5, OA=2,OB=√3, OC=√7 とする。 OA=4,OB=6,OC=c とおくとき、次の 問いに答えよ。 (1) 内積 を求めよ。 (2) 三角形OAB を含む平面をαとし, 点Cから平面αに下ろした垂線とαとの交 点をHとする。このとき, OH を 言で表せ。 (3) 四面体OABCの体積を求めよ。 [13 福井大] I

軌跡を求める問題なのですが 例題の解答によれば 十分性の確認をしてないようなのですが 答え方としてはそれでもいいのでしょうか？

200 第3章 図形と方程式 Check (1) P(t+2, 2t²-3) (2) 放物線y=x²-2(t+1)x+t+1 がx軸と異なる2点で交わると tが実数値をとって変化するとき, 次の点Pはどのような図形を描くれ の頂点P 例題 108 媒介変数と軌跡 考え方 (1), (2)で用いられている変数t を 媒介変数 (パラメータ) という. の満たす方程式を導く. 点Pの座標を(x, y) とおいて, x, yをそれぞれで表し, t を消去することで Focus 解答 P(x,y) とおく. [x=t+2 (1) ….………. ① ly=2t2-3... ② ①より, t=x-2 これを②に代入して, y=2(x-2)2-3 よって, 求める軌跡は, 放物線y=2(x-2)2-3 (2)y=x²-2(t+1)x+t+1 ={x-(t+1)}2-(t+1)+t+1 = {x-(t+1)}²-t²-t より, 頂点Pの座標は, (t+1, -t²-t) x=t+1 ......1 したがって, ly=-t-t... ② 放物線 y=-x2+xの x<0, 1<xの部分 YA x=(tの式) y=(tの式) O ① ② より, y=-(x-1)2-(x-1)=-x2+x ここで, 放物線はx軸と異なる2点で交わるので、 3310 D 20 y=-t-t<0 t(t+1)>0 より, t <-1,0 <t ① から, x-1<-1,0<x-1 より, x<0, 1<x よって, 求める軌跡は, 練習 108 (1) P(2t-2, 3t²+1) ** (2) 円x2+y2-2tx+4t -3-- tを消去 YA 2 1 4 0 1 1-2 XC 1\x (x,y)=(t+2.20 ① ② からを る. Cab 平方完成する。 Check 例題 (1) tがすべての実 とるときも の実数値をとる。 放物線y=2x- でもよい。 (x,y)=(t+1,6 ①より、 t=x-1 これを②に代入 x軸と異なる2点 わるという条件から tの範囲に制限がつ (頂点のy座標 ) < 0 x,yの方程式 (x,yの範囲に注意 tが実数値をとって変化するとき、次の点Pはどのような図形を描くか. (2) 考え方 解答 7 S