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基本 例題 124 三角形の垂心を表す複素数
00000
単位円上の異なる3点A(a), B(B), C(y) と,この円上にない点H(z)について、
等式 z=a+βtyが成り立つとき,HはAABCの悪心であることを証明せ
△ABCの垂心がHAH⊥BC, BHICA
重要
]
基本 123 重要 125, 基本121
複素
(1)
す
例えば,AH⊥BC を次のように, 複素数を利用して示す。
AHLBC-B
が純虚数⇔
N-a
Y-B
z-a
-B
+
=0
また, 3点A, B, Cは単位円上にあるから
[w が純虚数 ⇔ w≠0 かつw+w=0 (p.504参照)を利用している。]
指
||=||=||=1⇔ad=BB=yy=1
これと z=a+β+y から得られるz-α=βty を用いて,大をß,yだけの等式に直し
て証明する。
CHART 垂直であることの証明 ABCD⇔
8-r が純虚数
B-a
解答
3点A(a),B(B), C (y) は単位円上にあるから
A(a)
解答
|a|=|B|=||=1
すなわち
|a|=|B|=|v|=1
よって
aa=BB=ry=1
α = 0, β = 0, y≠0であるから
a=1, B = 1
B'
B(B)
H(z)
7cy)
A, B, C, H はすべて異なる点であるから,Y-B ¥0で
z-a
Y-B Y-B Y-B -B -B -B (*)
1|81|y
B+Y
+
Y-BB-Y
B+yy+B
+
+
+
2-a
z-a
βty
βty
B+y
1
Y-B
Y
B
+
=
B+y
1
+
B
=0
よって,
Y-B
は純虚数である。
z-a
ゆえに
AHLBC
| (*) B=1, 7
<指針_
B'
★ の方針。
垂直であるという図形の
条件を, 純虚数であると
いう複素数の条件に 言い
更に等式の条件に
言い換えて示している。
なお,bi が純虚数である
ためには, b≠0 である
ことに注意。
同様にして BHICA
したがって,Hは△ABCの垂心である。
上の式で、αがB,Bが?
③ 124 AD⊥BC であることを示せ。
練習 上の例題において, w=-aßy とおく。 wキαのとき, 点D (w) は単位円上にあり
rがαに入れ替わる
【類 九州大
③
