B1-72 (90)
第1章
Think
例題 B1.39 分数型の漸化式 (1)
1
an
a1=2'
an+1 2-an
で定義される数列{a} の一般項 am を求めよ.
****
(a) di
(南山大)
am の逆数をb, とおくと, 与えられた漸化式は,例題 B1.33
[考え方 これまでに学んだ漸化式の解法が利用できないか考える.ここで
は,漸化式の両辺の逆数をとって考える.
a の逆数
解答
an+1=0 と仮定すると,
これをくり返すと,
an=0
となりα = 1/20 と矛盾するので, an 0 (n≥1)
与えられた漸化式の両辺の逆数をとると,
an
(p.B1-63) のタイプ (a+1=pan+g) となる. (((+3)(+税)(+3)
an-1=an-2=...=a=0
>3 (1+) (S+d
an
an+1=
2-an
=0
an=0
1
2-an
2
-1
8+
an+1
an
an
1
ここで,bm=— とおくと,
b+1=26-1,b==2
a=2α-1 より,
a1
an
a=1
利用
bn+1-1=2(0-1), b-1=1
したがって 数列{bm-1} は初項1 公比2の等比数列だ
のときを調
から、
b-1=1.2"-1より,b=2"- '+1
のときも成
11+1 より
an
D
1
よって,
an=2+1
1
an
2"-1+1
ocus
主
(
an+1=
an+1=_ran
型の分数の漸化式は逆数で考える +
pan+g
例題 B1.39 で am≠0 は,これから学ぶ数学的帰納法 (p. B1-108~) を用いた証明
きる. <a=0 の数学的帰納法による証明>
n=1のとき、4=1/20
(1)
d
n=k のとき, a,≠0 と仮定すると, n=k+1 のとき, ak+1= ¥0
ak
