(1) 水深んの変化率 をんを用いて表せ。
分
※2) 容器内の水を完全に排水するのにかかる時間 T を求めよ。
指針 (1) hをtで表すのは難しそう。 そこで,
1.9
重要 例題 290 量と積分･水の排出など
曲線 y=x2(0≦x≦1) をy軸の周りに1回転してできる形の容器に水を満たす。
この容器の底に排水口がある。時刻 t=0 に排水口を開けて排水を開始する。
時刻 t において容器に残っている水の深さをん,体積を Vとする。Vの変化率
dV dv
は
=√hで与えられる。
dt
dt
ゆえに
よって
題意から
解答
(1) 水の深さがんであるときの水の体積をV(h)とすると
ch
V(h)=²xdy=πydy
したがって
dv
は条件で与えられているから,
dV
がんで表されればよい。 これはVをんの関数
dh
RS dt
と考えたものだから, 水の深さがんのときの体積を定積分で表すことから始める。
(2) 求める時間Tはh=1からん=0までの時刻t の変化量と考える。
(2)(1) より
練習
290
dt
Jodh
dh
dt
dV
= πh
dh th ... (*)
dV dvdh
dt
dh dt
√h
Th
dh
dt
dh
dt
=-
ot(t-1)(t-2)dt
1
T√√h
dh
dt
= πh.
=√であるから
C
dv dV dh
dt dhdt
=
に注目。
XOREN O
0
T=S₁ (-7√h)dh=zS√h dh=x[}} h√/h] = ² x
73
-1
1
YA
dt
dh
て
1
h
[北海道大]
基本206
0
(*) Sydy-h
Il
y=x2
1
dh
dt
1x
DES
+3-3-2-2
8章
41
曲線の長さ、速度と道のり
曲線y=x(1-x) (0≦x≦1/12 ) をy軸の周りに回転してできる容器に,単位時間あ
たり一定の割合Vで水を注ぐ。
[類 筑波大]
(1) 水面の高さがん (0≦hs-) であるときの水の体積を(h)とすると,
(h) = () dyと表される。ただし、□にはyの関数を入れよ。
