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基本 例題 54 平面上の点の移動と反復試行
右の図のように、東西に4本,南北に5本の道路がある。
地点Aから出発した人が最短の道順を通って地点Bへ
向かう。このとき、 途中で地点P を通る確率を求めよ。
ただし、各交差点で、東に行くか, 北に行くかは等確率と
し、一方しか行けないときは確率1でその方向に行くも
のとする。
0000
A
基本 52
求める確率を
指針
A→P→Bの経路の総数
A→Bの経路の総数
5C2X2C2
から,
7C3
とするのは誤り
これは、どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で, 本間は道順によって導
が異なる。
例えば, A111→→P→→Bの確率は
11
.
・1・1・1・1=-
2
8
22
P
重
右
出
別
た
A-1-11 P
→Bの確率は
→→
111
1
1
·1.1=-
.
A
32
222
したがって,Pを通る道順を,通る点で分けて確率を計算する。
右の図のように, 地点 C, D, C', D', P' をとる。
C
D
P
解答 Pを通る道順には次の3つの場合があり,これらは互いに
C'
D'
排反である。
P
[1] 道順A→C→C→P
この確率は
1/x/x/x1x1=(1/2)=1/2
8
A
[2] 道順 A→D'′ →D→P
この確率はC(1/2)(1/2)x1/12×1=3(1/1)=
3
16
[3] 道順 AP'→P
この確率はC(1/2)(1/2)×1/2=6(1/2)=
5
よって, 求める確率は
1 3
+
+
8
16 32
63
16
=
32
=
6|31|2
[2] ○○○↑と進む
->>
○には, 1個と 12
入る。
[3] 〇〇〇〇と進む
○には, 2個と
入る。
->
[1] ↑↑↑→→ と進む。
