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重要 例題 102 格子点の1
次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点 (x座標, y
である点)の個数を求めよ。 ただし, nは自然数とする。
(1) r≥0, y≥0, x+2y=2n
CHART
OLUTION
格子点の個数
0000
座標がともに 整数
(2) x≥0, y≤n², y≥x²
MOITUIO
の
直線xk または y=k上の格子点を求め加える......
「不等式の表す領域」は数学IIの第3章を参照。
基本的
(1) n=1のとき
n=2のとき
具体的な数を代入してグラフをかき, 見通しを立ててみよう。
n=3のとき
yA
ya
YA
x+2y=2・3
x+2y=2.2.
-3
x+2y=2・1
Yo
-2€
2
-16
-10
1
0
2
3
0
2 3 4
5
n=1のとき
1+3=4,
n=2のとき
1+3+5=9,
(1)
解
n=3のとき 1+3+5+7=16
一般の場合については,境界の直線の方程式 x+2y=2n から x=2n-2y
………,0)上には(2n-2k+1)個の格子点
よって、 直線 y=k (k=n, n-1,
が並ぶから (2n-2k+1)において, k=0, 1, ..., nとおいたものの総和が
求める個数となる。
び直
(2
J
(2) n=1のとき
n=2のとき
n=3のとき
A
y
y=x21
-yA
y=x2+
(I-YA
y=x
-9
0
n=1のとき
n=2のとき
x
0
(1−0+1)+(1-1+1)=3,
-4+
-1
x
(4−0+1)+(4−1+1)+(4−4+1)=10,
(9-0+1)+(9-1+1)+(9-4+1)+(9-9+1)=26
n=3のとき
一般(n) の場合については,直線x=k (k=0,1,2,
n-1, n) E
nとおいたものの総和が求める個数となる。
また、次のような, 図形の対称性などを利用した別解も考えられる。
(1)個の格子点が並ぶから,(n+1)において,k=0, 1,
(1)の別解 三角形上の格子点の個数を長方形上の個数の半分とみる。
このとき、対角線上の格子点の個数を考慮する。
01-
(2)の別解 長方形上の格子点の個数から 領域外の個数を引いたものと考える。
