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重要 例題 1082円の共通接線
00000
C:x2+y2=4と円Cz:(x-5)'+y2=1の共通接線の方程式を求めよ。
指針 1つの直線が2つの円に接するとき,この直線を2円の
共通接線という。
共通接線の本数は2円の位置関係によって変わるが,この
問題のように、2円が互いに外部にあるときは,共通内接線
と共通外接線 がそれぞれ2本の計4本がある。
本
共通内線
また、共通接線を求めるときは,
共通外接線
と考えて進めた方がらくなことが多い。
C上の点(x1,y) における接線 xix+yiy=4円 C2 にも接する
yA
上の接点の座標を (x1, y1) とすると
2+y^2=4
......
解答
に対する
接線の方程式は
xx+yiy=4
......
②
2
C1
C2
直線 ②が円 C2に接するための条件は,円C2の
中心 (5,0) 直 ②の距離が,円 C2 の半径1
-2
O
2
4
16
-2
に等しいことであるから
|5x1−4| =1
① を代入して整理すると
|5x1-4|=2
よって 5x1 -4 = ±2
6
したがって x1 =
2
5
5
6
x=1のとき,①から
64
y₁=
ゆえに
25
y=±-
8-5
x₁=
2 のとき,①から
96
y₁=
25
よって
=
ゆえに、②から求める接線の方程式は
5
6
5
注意 直線 3x±4y=10 は共通内接線(上の図のA, B), 直線x±2√6y=10は共
接線 (上の図のCD) である。
別解] 共通接線の方程式をy=mx+n とすると,これが円 C, C2に接する条
11/8/2/22=4, 1/242/8y=4 すなわち 3x±4y=10,x±2√6y=1
4√6
5x1
0-8-S
In
それぞれ
15m+nl
=2,
したがって
√m²+(-1)²
=1
√m²+(-1)²
||=2ym²+1, 15m+nl=√m²+1
ー中心と直線の距離
よって ||=2|5m+n|
ゆえに n=-10m 1 3n=-10
このようにして,一方の文字を消去し, 連立方程式を解く。
た
asks
[練習 円 Ci:x2+y2=9とC2:x2+(y-2)=4の共通接線の方程式を求めよ。
③ 108
