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OOOO0
490
重要 例題71 平面に下ろした垂線 (3)
四面体 OABC の4つの面はすべて合同で, OA=V10,
OB=2, OC=3であるとする。このとき,
AB-AC="コであり, 三角形ABC の面積は
]である。また, 3点A, B, C を通る平面をα
とし,点0から平面 αに垂線 OHを下ろすと, AH は
ABとAC を用いて AH="□と表される。
2
B
【類慶応大]基本 69
指針>() 考え方は例題 69 と同じで, s, tを実数として, 次の条件を利用する。
分し。
[点Hは平面 ABC上にある]
AH=sAB+tAC
OH-AB=0, OH·AC=0 [直線 OH は平面 ABC に垂直である]」
内積の計算では,(ア), AB·A0, AC·AO の値が必要となるが,その値は
BCP=IAC-ABf=|ABf-2AB·AC+IACP などを利用して求める。
を示
解答
四面体 OABC の4つの面は合同で, OA=/10, OB=2,
AB=3, BC=10,
このとき BCP=|AC-ABf=|ABP-2AB·AC+|ACP
JABP+|ACP-IBCP_73
(*) 10Bf=|AB-A6P
-|AB-2AB-A6+A6f.
1OCP=|AC-A6f
=|ACP-2AC-A6+|A0f
-面 から導くことができる。
OC=3であるから
CA=2
のと
よって
AB-AC=
三
2
5, AC-A6-
5
同様に
AB-A0=
2?
2
三角形 ABC の面積は ABPIAC-(AB·AC)°=-/
イ3V15
『Hは平面 ABC上にあるから, AH=sAB+tAC を満たす実数s,tが存在する。
9
36-
4
2
2V
ゆえに
OH=OA+AH=-A0+sAB+tAC
D -00. 3-
直線 OH は平面αと垂直であるから
OH-AB=0, OH·AC=0
OHIAB, OH」AC
よって
ここで
OH-AB=(-A0+sAB+tAC)·AB=-
-+9s+
3)
OH-AC=(-A6+sAB+tAC)·AC=-)
2/
3
3
2
28+4t
ゆえに
9s+
2
15
f-
3
=0,
2
15-Gx5)1
Pいての
25+41-
=0
これを解くと
Sミ
t=
1
3
したがって AH-AB+AC
9'
ウ
7
9
三3
