重要 例 21 等式を満たす多項式の決定
多項式 f(x) はすべての実数xについてf(x+1)f(x)=2x を満たし, f(0)=1
[一橋大]
であるという。このとき, f(x) を求めよ。
指針 例えば、f(x)が2次式とわかっていれば, f(x)=ax2+bx+cとおいて進めることが
できるが,この問題ではf(x) が何次式か不明である。
→f(x)はn次式であるとして, f(x)=ax+bx-1+..
(a=0, n ≧1) とおいて
進める。 f(x+1)f(x)の最高次の項はどうなるかを調べ,右辺2x と比較するこ
とで次数 n と係数 α を求める。
なお, f(x) = (定数) の場合は別に考えておく。
f(x)=c (cは定数) とすると, f(0) = 1から f(x)=1
解答これはf(x+1)- f(x)=2.x を満たさないから,不適。
よって, f(x)=ax+bxn-1+...
ると
(a≠0, n ≧1)(*) とす
f(x+1)f(x)
......
=a(x+1)"+6(x+1)"'+......-(ax+bx"-1+.....)
=anx-1+g(x)
ただし, g(x) は多項式で,次数はn-1より小さい。
f(x+1)f(x)=2xはxについての恒等式であるから,最
高次の項を比較して
n-l=1
......
..0, an=2
.....
.......
よって
2x+6+1=2x
この等式はxについての恒等式であるから
すなわち
b=-1
したがって
f(x)=x-x+1
②
b+1=0
基本 15
この場合は, (*)に含ま
れないため、別に考えて
いる。
◄(x+1)"
①から
n=2
ゆえに、②から a=1
このとき, f(x)=x2+bx+c と表される。
f(0)=1から
c=1
またf(x+1)-f(x)=(x+1)^+6(x+1)+c-(x2+bx+c)c=1としてもよいが,
=2x+6+1
結果は同じ。
=x"+nCix"-1+nC2x"-2+...
のうち,
a(x+1)+1-ax” の最高
次の項は anxn-1 で 残
りの頃はn-2次以下と
なる｡
<anxn-1と2x の次数と
係数を比較。
係数比較法。
POINT 次数が不明の多項式は,n 次と仮定して進めるのも有効
