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曲線C:y=r- kx (k は実数)を考える.C上に点A(a, α'ー ka) (aキ0) をとる。 次の問い
10 接線·法線
に答えよ。
めよ。
BにおけるCの接線をlとする、」と l2が直交するとき, aとんがみたす条件を求めよ。
(A iとlが直交するaが存在するようなkの値の範囲を求めよ。
(阪大·文系)
曲線リ=f(z)の接線に, 接点で直交する直線を法線という.2直線y= mz+n,
接線と法線
=m'ェ+n'が直交する条件は, mm' =-1だったので,(t, f(t))での法線の傾きは,f(t)+0のと
き,
f(t)
である。
法線は(t, f(t))を通り,傾き
1
の直線なので,y=--
f(t)
1
f'(t)
(エーt)+f(t)とかける。
■解答
(1)f(z)=r°ーkzのとき, f(ェ)=3z°-k
ムの式は,y=(3a?-k)(ェーa)+a°ーka
Y4
B%
12
エ=aで接するので,この左辺は
(ェーa)?を因数に持ち(p.132)
定数項を考えると,
○(ェ-a)(z+2a) と因数分解で
きる。
NO
=(3a°-k)ェー2α°
-2a
Cと」を連立させて, zーkr= (3a°-k)ェ-2a°
. 23-3a°z+2a°=0
A
(z-a)°(x+2a)=0
よって,エ=a, -2aとなり, Bの 座標は,-2a
○y=mz+nとy=m'ェ+n'が直
交する条件は,mm'=-1
(2)4とらが直交 → 1, 2の傾きの積が一1→ f(a)f'(=2a)=-1
より,(3a°-k) (12α'-k)=-1
(3) a?=X とおくと, ①は, 36.X2-15&X+k?+1=0
aの4次方程式①も,Xの2次方程式(2も0を解として持たない。よって
方程式のが実数解を持つ → 方程式②が正の解を持つ
36a-15ka'+k'+1=0
a=0 は①を満たさない。X=0
合はのを満たさない
Qaキ0のとき,Xx(=q°)>0
k?+1
2の解と係数の関係より,(2解の積)=" 26
ー>0であり,一方が正であれば、
もう一方の解も正となり,2解はともに正である。
方程式2が,正の2解(重解も含む)を持つ条件は,
(判別式)20 かつ(2解の和)>0
は」 -4
>0-< 万き
令解と係数の関係
15k
(15k)?-4-36(R+1)20 かつ
36
36
3
5k0s ())
ロケ小県 ( 0
. k?2
16
かつ k>0
9
k2
OYOS
