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重要 例題 112点 (x+y', xy) の動く領域
(1) x,yがすべての実数値をとるとき, 点 (x+y, xy) の存在する領域を図
(2) 実数x,yがx2+y2≦1 を満たしながら変わるとき, 点 (x+y, xy) の
示せよ。
[類 東京工大]
動く領域を図示せよ。
SOLUTION
点 (x+y, xy) の動く領域
X=x+y, Y=xyとおき、実数x,yが存在するための
X, Y の条件を考える・････
(1) X=x+y, Y = xy とおくと, x, yは2次方程式 2-Xt + Y = 0 の実数解。
この2次方程式が実数解をもつ条件を考える。
(2) x2+y2は,x, yについての対称式であるから, X, Y で表すことができる。
ただし, (1) の範囲に注意。
解答
(1)X=x+y, Y=xy とおくと,x,yは2次方程式
◆ 2 数 α, β に対して
p2-(x+y)t+xy=0 すなわち t-Xt+Y=0
の実数解である。 この2次方程式の判別式をDとすると
D=X2-4Y
p=a+B,g=aB
とすると, α, βを解とす
る2次方程式の1つは
x2-px+q=0
D≧0 から Y≤1x²
YA
y=1x²
変数をx, yにおき換えて
xy平面上に図示するの
で, x,yに文字をおき
換える。
y≤1x²
したがって 求める領域は、 右の図
の斜線部分。 ただし, 境界線を含む。
(2) x2+y2≦1 から
したがって 1/12 x 2-1-123
変数をx, yにおき換えて
y²-1/ x²-01/201
y=
ys
exy平面上に図示するの
で, x,yに文字をおき
換える。
したがって 求める領域は, ① ②
の共通部分であるから、 右の図の斜
線部分。 ただし, 境界線を含む。
11/12/12/12/3とする
4
² x=± √2
PRACTICE･･･ 112④
座標平面上の点(p,q)はx2+y2=8,x≧0 y≧0で表される領域を動く。
点(p+α, pg) の動く範囲を図示せよ。
関西大]
170
CHART
(x+y)2-2xy≦1 すなわち X'-2Y≦1
YA
y=
2
