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8章 整数の性質
例題
考え方
解
****
自然数kを2の累乗と奇数の積として, k=2m (aは累乗の指数,
は奇数)と表すとき, f(k)=α と定める.
Sm=f(1)+f(2)+f(3)+..+f(n) とするとき, 次の問いに答えよ.
262 ガウス記号の利用
(1) Sso を求めよ.
(2) nが2の累乗のときSをnの式で表せ.
(3)
n-1
-≦Sn<nであることを示せ.
2
(1)を素因数分解したときに2をいくつ因数にもつか考える」を
ガウス記号を用いると表現が楽になる.
(2), (3), 1+r+²+ ······ + p²-1 _ 1 − p " (r≠1)
1-r
を利用する. (数学Bの数列」で学習する。 注参照)
(1) Sso は 1から50までの自然数を素因数分解したときの
素因数2の個数の総和である.
すなわち, 50! の中に含まれる素因数2の個数である.
よって, Sso=
>=[2]+[2]+[2]+[2]+[5]
50
=25+12+6+3+1=47
(2) n=2' とすると,
Sn=
sn = [2]+[29][2]+[27]
+......+
==2'-'+22+..+2+1
=1-22=2^-1=n-1
2²-
DTS IN
1.0 1, 2, ….., 2-2, 2-1 は、
m
(群馬大)
18+d=[2]=x
(3) S=
-=[ 2 ] + [ 2 ] + [ 2 ] +++ ( 2 )] (2¹≤n<2¹+¹)=x+
+......+
(n: 偶数)
n-1(n:奇数)
よって, nが偶数 奇数いずれの場合でも,
Sn²
OFESPAI ER
TAS
初項1,公比2の等比
数列 (項数 1 )
(数学Bで学習する。)
Flocus
262
5段目
4段目
3段目
2段目
1段目
またSo- [金]+[2] + + [2] (22)
S=
≤12+2/2+
=(2+1/+2/
1
1800
n
2
........ ◯
2²
2
= 22-2 (1-12/7)
注 r≠1 のとき,
+22
+.
**** =n(1-2)<n $550
したがって
よって, ①
素因数の個数
[注 (1) のイメージは次の通りである。 (0
Sn<n...... ②
② より
O
+••••••+
O O
·· + 2 ² - 1)
)n-1
ガウス記号で表現せよ!
n=¹ ≤S₂ <n
2
O O O O O O O O
〇〇
3 整数の性質の活用
O
O
O
O O O
0 ② ④ 6⑧ 10 12 14 16 18 20
1段目の○の個数は、2の倍数の個数
30 32 34
50÷2=25
2段目の○の個数は、22の倍数の個数 50÷2212･････ 2
...... 2
3段目の○の個数は 23の倍数の個数 50236
4段目の○の個数は2の倍数の個数 50÷2=3….. 2
5段目の○の個数は、25の倍数の個数 50÷2=1･････ 18
したがって, S=12となる。
S=1+r+r°+..+yn-1
-) rS= r+p² + ...... +p²-² + pr
(1-r) S=1-yn
[x]≦x
→この合計が S50
+ oooo
48.50
n! に含まれる素因数の個数は, [n]+[7]+[7] ++ [7] (個)であ
[
=0
[]=000
このとき、m≧k となるすべてのmについて
る.ただし,
である. このことを利用して, 10! を素因数分解せよ.
463
8
整数の性質
