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_8 基本事項
D
形して
差を作る。
(C)
作る。
2√6
>0
3
性紙)
170 vor
47
基本例題 29 不等式の証明 (絶対値と不等式) ①①①①①
次の不等式を証明せよ。
(1)|a+b|≦|a|+|6|
(2) |a|-|6|≦|a-
p.38 基本事項 4. 基本 28
1章
CHART SOLUTION
ER
似た問題 1 結果を使う 2 方法をまねる
(1) 絶対値を含むので,このままでは差をとりにくい。 |A=A2 を利用すると,
絶対値の処理が容易になる。 よって, 平方の差を作ればよい。
(2) 不等式を変形すると
|a|≦la-6|+|6| (1) と似た形
←
←
そこで,(1) の不等式を利用することを考える。
JED
①の方針
解答
(1) (4|+|6|2-|a+6=(|a|+2|a||6|+|6)-(a+b)2
linf.
A≧0 のとき
=α²+2|ab|+b²-(a²+2ab+b2)
-|A|≦A=|4|
=2(abl-ab)≧0
4<0 のときくと
-|A|=A<|A|
よって
la +6=(|a|+|6|)2
であるから, 一般に
|a+b≧0,|a|+|6|≧0であるから
-|A|A|A|
|a+6|≦|a|+|6|
更に,これから
を
|A|-A≧0,|A|+A≧0
別解-|a|≦a≦al, -1660であるから
辺々を加えて
-(|a|+|6|)≦a+b≦|a|+|6|
|a|+|6|≧0であるから
|a+b|≦|a|+|6|
◆ c≧0 のとき
(2) (1) の不等式の文字αを a-bにおき換えて
c≦x≦clxl≦c
x≤-c, c≤x
| (a-b)+6|≦la-6|+|6|
.30 S=x|x|≥c
|a|≦|a-6|+|6|
よって
ゆえに
|a|-|6|≦|a-6|
別解] [1] |a|-| 6| < 0 すなわち |a| <|6| のとき
◆②の方針 |a|-|6|が負
の場合も考えられるの
(左辺) <0, (右辺) > 0 であるから不等式は成り立つ。
SULT-QUEN
[2] |a|-|6|≧0 すなわち |a|≧|6| のとき
で、 平方の差を作るには
場合分けが必要。
|a-61-(|a|-161)²=(a-b)(a²-2|ab|+62 )
inf 等号成立条件
=2(−ab+lab)≧0
よって
(|a|-|6|)2≦la-6|2
|a|-|6|≧0,|a-b≧0であるから
(1) は ① から, labl=ab,
すなわち, ab≧0 のとき。
よって, (2) は (a-b)≧0
ゆえに (a-b≧0かつb≧0)
または (a-b≦0かつb≧0)
すなわちab≧0 または
a≦b≧0のとき。
la|-|b|≤la-blo
PRACTICE・・・ 29 ②
不等式 lathsla|+|b」を利用して、次の不等式を証明せよ。
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等式・不等式の証明
