任意の複素数α,β に対して, la + B ≦ [a] + [β が成り立つことを示せ。
|a + β| ≧ 0, || + || ≧ 0 であるから, la +B12≦ (α| + |β|)2 を示せば十分である。
([a] + [BD)2 - |a + B12 = |a|2 + 2|a||β + B12 - (a +B)(a+β)
= |a|2 + 2|a||| + |B12 - (la12 + α + Ba + \β12 )
=2|a||BI- (aB+aβ)
a = a + bi (a,bは実数) とおく。
-=
\BI = |Bl, ap=ap=a-bi より,
(|al + ||)2 - la + B12 = 2|a|| B-{ (a + bi) + (a-bi)}
=2|ap| -2a
=2{va²+b2-a}≧0
よって, la + B12 ≦ (|α| + |β|)2 となり, la + β≦|α|+|β| が成り立つ。
なお,等号成立条件は, Va2+b2= a
すなわち, a≧0, b = 0 となるときである。
[証明終わり ]
