3(l+1)=2(m+1) l+1=2kになる理由を教えてください

練習 第1章 数列 (5) B1-5 Step Up 章末問題 {6m² は初項 105, までは解と同じ) 18.8 公差6の等差数列であるから, 解2 ((*) 数列 bn=105+(n-1) ×6=6n+99 数列{cm} は初項 101 公差 4 の等差数列であるから, Cn=101+(n-1 ×4=4n+97 とすると, 6l+99=4m+97 すなわち, 3ℓ+1=2m より, 3(ℓ+1)=2(m+1) 3と2は互いに素では自然数であるから、 | 数列{bm} の第ℓ 項と数列 {c} の第 m項が等しいとす る。 1 l+1=2k, すなわち, e=2k-1 (kは自然数) と表せる.e≧1より. 2k-11 したがって、数列{b>と数列{cm} の共通項は数列{6}) の第2k-1項であるから, b=6(2k-1)+99=12k+93 よって、求める数列{a}の一般項は, すなわち, k1で ん は整数 より,k=1,2, お 式を 夢 00 1m an=12n+93 また, 105≦a≦999より, 105≦12n+93≦999 よって, 1≦n 75.5より、n= 1, 2,.....,75 である から、項数は75 2-2-2

青のところ なぜn≧2のときとするのか なぜ∑の上はnじゃなくてn-1なのか 赤のところ その後どう求めるのか 教えてください！

y=x 出 日本内 35 an+1= pant (nの1次式) 型の漸化式 =h, an+1=3an +4nによって定められる数列{an)の一般項を求めよ。 このような場合は, 00000 基本 34 p.464 基本例題 34 の漸化式anti=pan+αで, gが定数ではなく, nの1次式となっ ている。 を消去するために 階差数列の利用を考える。 漸化式のnをn+1とおき, an+2 についての関係式を作る。 これともとの漸化式 との差をとり,階差数列 {an+1 - an} についての漸化式を処理する。 また,検討のように, 等比数列の形に変形する方法もある。 CHART 漸化式an+1=pan+(nの1次式) 階差数列の利用 an+1=3an+4n ① とすると an+2=3an+1+4(n+1) ② ②①から ...... an+2-an+1=3(an+1-an)+4 an+1-a=bn とおくと これを変形すると また bn+1=36+4 bn+1+2=3(6+2) b1+2=a2-a1+2=7-1+2=8 よって, 数列{bn+2}は初項 8, 公比3の等比数列で +2=83-1 すなわち bn=8・3"-1-2 y=x n≧2のとき n-1 an=a+ W" (8.3k-x-2)=1+ ①のnn+1 を代入す ると②になる。 467 差を作り, nを消去する。 {6}は{an}の階差数列。 α=3a+4から α=-2 a2=3a+4・1=7 (*) n≧2のとき 8(3-1-1) n-1 -2(n-1) an=1+26 k=1 3-1 =4・3"-1-2n-1 ...... ③ n=1のとき 4.30-2-1-1-1---8-8-8- α=1であるから, ③はn=1のときも成り立つ。 したがって an=4.3-1-2n-1 ①初項は特別扱い (*) を導いた後, An+1-an=8・3"-1-2 に ① を代入して am を求めてもよい。 1 漸化式と数列 {an- (an+β)} を等比数列とする解法 例題はan+1=pan+(nの1次式) の形をしている。 そこで, f(n)=an+βとして, an+1=3an+4nが, an+1-f(n+1)=3{an-f(n)} の値を定める。 ④から an+1-{α(n+1)+B}=3{an- (an+B)} an+1=3an-2an+α-2β ***** Aの形に変形できるように α,β -2α=4, α-2β=0 点 ゆえに 功 これとan+1=3an+4n の右辺の係数を比較して よって α=-2,β=-1 ゆえに an-(-2n-1)=4.3"-1 f(n)=-2n-1 Aより、数列{an-(-2n-1)}は初項 α1+2+1=4, 公比3の等比数列であるから an=43-1-2n-1 したがって

解答の95＋12x>100+12(20-x) になるのがわかりません。95と100は重さで12xと12(20-x)は、球の数のはずなのに足すのはなぜですか？

59 1 ◎基本2 なるだろうか? (2) も同様。 AxB の形に A>0, A=0, で場合分け。 基本 例題 32 1次不等式と文章題 下 Aの箱の重さは95g,Bの箱の重さは100gである。 1個12gの球が20個あ り,これらをAとBに分けて入れたところ,Aの箱の方が重かった。そこで 基本30 Aの箱からBの箱に球を1個移したところ、今度はBの箱の方が重くなった。 最初,Aの箱には何個の球を入れたか。 CHART & SOLUTION 文章題の解法 ① 変数を適当に定め、関係式を作って解く ②解が問題の条件に適するかどうかを吟味 最初,Aの箱の球をx個としたときのAとBの重さを比較した関係式を作る。 次に,Aの箱の球を1個減らし、Bの箱の球を1個増やしたときの重さを比較した関係式を 作る。こうしてできる2つの不等式を連立させて解けばよい。 なお, xは自然数であることに注意する。 解答 となるためには,最大 とき 0 を代入して すべての実数x の範囲を定 Bは (20-x) 個 最初,Aの箱にx個の球を入れたとすると して0.x=0である A,Bの重さを比較して 95+12x > 100+12(20-x ) 05Aの方が重い。 245 整理して 24x>245 よって x> 24 正の数なので、 の向きはそのまま Aの箱から1個減らし, Bの箱に1個増やしたとき A,Bの重さを比較して 95+12(x-1) <100+12(21-x) ← Aは (x-1) 個, Bは(20-x+1) 個 ←Bの方が重い。 1章 1次不等式 整理して 24x<269 よって は負の数なので、 x<- 24② である 269 の向きは逆にな 245 ①と②の共通範囲を求めて 269 ·<x<· 24 24 245 24 ≒10.2, 269 24 ≒11.2 xは自然数であるから x=11 ◆解の吟味。 したがって,最初Aの箱に入れた球は11個である。 2 Ic

（2）の問題で①、②で出てきた-a、bをx=-a、bとして二次方程式x2乗+bx+aに代入すると、a=-2分の1、b=2分の1という新しい答えが出てきました。何が間違っているのか教えてください🙇‍♀️

80 基本 例題 47 2次方程式の作成 & 00000 (1) 2次方程式 x2+3x+4=0 の2つの解をα, β とするとき, α', ' を解 とする2次方程式を1つ作れ。 (5) (2) a<b とする。 2次方程式 x2+ax+b=0 の2つの解の和と積が、2次 方程式 x2+bx+α=0 の2つの解である。 このとき, 定数a, bの値を求 めよ。 MC p.75 基本事項 3 基本44 基 CHART & SOLUTION 2次方程式の2つの解の関係 解と係数の関係を書き出す (1) 2数α2β2 を解とする 2次方程式の1つは x2-(α2+β2)x+α2B2=0 | 積 (2)2つの2次方程式の解と係数の関係を書き出し, a, b の関係式を導く。 解答 (1) 解と係数の関係により a+β=-3, aβ=4 =1 よって2+2=(a+β)2-2aß=(-3)2-2・4 EL (8) 12 α, β は2次方程式 x2+3x+4=0 の2つの解 a², B². 21 21 α2β2=(aβ)2=42=16 ← 2数 2, B2 の積。 ゆえに, 求める2次方程式の1つは x2-x+16=0 (2) 2次方程式 x2+ax+b=0 の解をα, β とすると,解と 係数の関係により α+β=-a... ①, aβ=6... ② 2次方程式 x2+bx+α=0 の解がα+ β, aβ であるから, 解と係数の関係により (a+β)+αβ=-6, (a+β)aβ=a ① ② を代入して -a+b=-b... ③, -ab=a ・・・ ④ すなわち a(1+b)=0 ④から a+ab=0 2つの解の和と積。 上の4つの式 (赤字) か らα, β を消去。 よって α = 0 または b=-1 [1] α = 0 のとき ③ から 6=0 これは α <b を満たさない。 ← ③ から a=2b [2] b=-1 のとき 条件を確認する。 ③ から a=-2 これは a<bを満たす。 [1], [2] から a=-2,b=-1 PRACTICE 47 (1) 2次方程式 x²-2x+3=0 の2つの解をα, β とするとき,次の2数を解とする 2次方程式を1つ作れ。 (ア) α+1,β+1 (イ) 1 1 a' B (ウ) 3,3 (2)pg を 0でない実数の定数とし 2次方程式 2x'+x+2g=0の解をα,βとす る。2次方程式 x2+qx+p=0 の2つの解がα+β と αであるとき,pg の値を 求めよ。

nが消えないんですが、なぜこれではダメなんでしょうか、

基礎問 190 125 2 項間の漸化式(Ⅲ) (1) an+2n=bm とおくとき, bn, bn+1 の間に成りたつ関係式を a=1, an+1=3an+4n n≧1) で表される数列{an}がある. 求めよ. (2) bm を求めよ. |精講 (3) a を求めよ. an+1=pan+gn+r (p≠1) ...･･･ ① 型の漸化式の解き方には次 3通りがあります。 1.an+an=b" とおいて, bn+1= pbn+g 型になるように, αを決める II.an+an+β=bm とおいて, bn+1=rb 型になるように,α,βを決める III. 番号を1つ上げて an+2=pan+1+α(n+1)+r ...... ② を用意して ②①を計算し, an+1-a=b とおいて, 階差数列の考え方にもちこむ この問題では, I を要求していますので, II, IIIの解答はを見て下さい 解答 (1)a=b-2n, an+1=bn+1-2(n+1) だから これらを与式に代入して bn+1-2(n+1)=3(bn-2n)+4n ∴.6+1=36+2 (2)+1=36+2 より bn+1+1=3(6n+1) ゆえに、数列{bn+1} は, an+1=pan+α型 1a=3+2 より α=-1(124) 初項 b1+1=(a+2) + 1 = 4, 公比3の等比数列. よって, bn+1=4・3n-1 ∴.bm=4.3-1-1 (3) an=b-2n=4.3"-1-2n-1 参考 (その1) (IIの考え方で)

重要例題111の類題としてpractice111を解こうと思ったのですが、どのように解いたらいいですか？？ ℓtをtについて整理して、二次方程式をつくる所まではやってみたので、その先を教えていただきたいです！ どなたか分かる方教えてください！！🙇‍♀️

178 重要 例題 111 直線が通過する領域 を実数の定数とする。 直線 2kx+y+k=0... ① について、 ての実数値をとって変わるとき, 直線 ①が通る領域を図示せよ。 ①について、んがすべ CHART & SOLUTION 直線が通過する領域 実数 k が存在する条件をx, y で表す...... 直線 ①が点(x, y) を通る⇔ ①を満たす実数が存在する ①をkについての2次方程式とみて、次の同値条件からxとyの関係式を求める。 2次方程式が実数解をもつ ⇔ 20 別解 解答 2変数 x,yのうち,まず,xの値を x=tと固定して,yのとりうる値の範囲を める。 その後,tの値を動かしてみる。 ①をkについて整理すると k2+2xk+y=0 ② 直線 ①が点(x, y) を通る条件は,②を満たす実数kが存在 することである。 kの2次方程式 ②の判別式をDとすると D= x²-y y 大量 y=x2 4 OD≧0 から したがって, 直線 ①が通る領域は, 放物線 y=x2 およびその下側の部 分で,図の斜線部分。 ただし, 境界 線を含む。 INFORMATION 法 ← ② を満たす実数 在しないとき が点(x, y) を通 はできない。

判別式を使う理由を教えて頂きたいです🙇🏻‍♀️

例題 24 点P(b,g)から放物線 y=x2 に引いた2本の接線が直交してい [類 07 東京電機大] るとき, 点Pの軌跡を求めよ。 指針軌跡 軌跡上の動点の座標 (x,y) の間の関係式を求める。 2. 軌跡の限界に注意。 1. x, y以外の文字を消去。 解答 放物線 y=x2の接線はy軸に平行でないから,その方程式をy=mx+n と おく。 x2=mx+n すなわち x-mx-n=0 の判別式をDとすると D=(-m)2-4・1・(-n)=0 2 m よって n=- 4 y=mx+n に代入して y=mx- m² 4 ① 接線 ①が点P (p, g) を通るから m²-4pm+4q=0 ② (() 081 mについての2次方程式②の2つの解を m, m2 とすると, 解と係数の関係 により mm2=4q 2本の接線が直交するとき mm2=-1であるから 1 181 q=- 4 逆にこのとき、任意の実数」に対して, ② が異なる2つの実数解 m=2p±√4p2+1 をもつから,①より、条件を満たす2本の接線が存在する。 よって, 求める軌跡は 直線 y=

青い下線部なのですが、D≧0からD≧x²-y y≧x² だと思っていたのですが解答はx²≧yとなっていました。 どのように考えたら解けますか？？ どなたか分かる方教え... 続きを読む

178 重要 例題 111 直線が通過する領域 を実数の定数とする。 直線 2kx+y+k=0..... ①について ての実数値をとって変わるとき, 直線 ①が通る領域を図示せよ。 CHART & SOLUTION 直線が通過する領域 実数k が存在する条件を x, y で表す... 0 直線 ①が点(x, y) を通る①を満たす実数kが存在する ①をんについての2次方程式とみて、 次の同値条件からxとyの関係式を求め 別解 解答 2次方程式が実数解をもつ⇔ D≧0 2変数 x, yのうち,まず, xの値を x=t と固定して, yのとりうる める。その後,tの値を動かしてみる。 ①をんについて整理すると k2+2xk+y=0 ... 2 直線 ①が点(x, y) を通る条件は,②を満たす実数kが存在 ← ② を満 在しな することである。 が点( kの2次方程式②の判別式をDとすると D=xy OD≧0 から y≦x2 したがって, 直線 ①が通る領域は, 放物線 y=x2 およびその下側の部 分で,図の斜線部分。 ただし, 境界 線を含む。 はでき y 最大

赤で丸したところについて説明して欲しいです🙇🏻‍♀️՞

480 解答 基本 例 44 連立漸化式 (1) 00000 数列{an}, {bm} を a=b=1, an+1=an+4bn, bn+1=an+bnで定めるとき、数 |{a},{bm} の一般項を次の(1), (2) の方法でそれぞれ求めよ。 (1) an+1+abn+1=β(an+abn) を満たすα, Bの組を求め, それを利用する (2) bn+2, bn+1, b, の関係式を作り,それを利用する。 基本41 重要 5 指針 本間は, 2つの数列{a},{bm} についての漸化式が与えられている。このようなタイ プでも、既習の漸化式に変形の方針が基本となる。 (1)解法 1. 等比数列を作る 数列 {an+ab} を考えて,これが等比数列となることを目指す。 すなわち an+1+αbn+1=B (an+αb) が成り立つようにα, β の値を決める。 →本問では, 値の組 (α, β) が2つ定まるから,一般項 α+●b を2つの式で 表した後,それをan, bn の連立方程式とみて解く。 注意 値の組 (α, β) が1つしか定まらない場合は、基本例題45のように対応する。 (2) 解法 2. 隣接3項間の漸化式に帰着させる 2つ目の漸化式から an=bn+1-bn (*)よって an+1=bn+2-b1 {bm} についての隣接3項間の漸化式を導くことができる。 →基本例題41参照。 まず, 一般項bn を求め,次に (*) を利用して一般項 αn を求める。さ この2式を1つ目の漸化式に代入し, an+1, an を消去することによって、数列 (1) an+1+αbn+1=an+4bn+α(an+bn) =(1+a)an+(4+a)bnNDS よって, an+1+αbn+1= (a+b) とすると (1+α)an+(4+α)bn=βan+aßbn これがすべてのnについて成り立つための条件は 1+α=β,4+α=aβ a+ an+1=an+4b b+1=a+b を代入 an, bn についての恒 ゆえに Q2=4 よって α=±2 ゆえに (a,β) = (2,3), (-2,-1) よって a1+261=3; an+1+2bn+1=3(an+2b), an+1-26n+1=- (an-26), α1-2b1=-1 ゆえに, 数列{an+26} は初項 3, 公比3の等比数列; 数列{an-2b} は初項-1,公比-1の等比数 よって 列。 an+2bn=3.3"-1=3n an-2bn=-(-1)"'=(-1)"... 3"+(-1)" (①+②)÷2から an= (①-②) ÷4から bn= 4 3"-(-1)" 等式とみて、係数比較 アからを消去する と 4+α=q(1+α) α=2, β=3 a=-2, β=-1 ①出ar-l なぜ を消去。 =(-1)h になるんですか? 10. 消去

2枚目の答えのマーカのところについて質問です。左辺は3が絶対値の中にはいっているのに、右辺はなぜはいっていないのですか？

学習日 月 実戦問題 117 ベクトル方程式が表す図形とその面積 平面上に一直線上にない3点 O, A,Bがあり,=OA=OB とおく。 |a|=3,16|=2, la+6=4 とする。 以下、比の形で解答する場合、最も簡単な自然数の比で答えよ。 Lv3 C12min ア (1) 内積の値は, a b = であるから, 線分ABの長さは, AB ウェである。 = イ オカキ また,△OAB の面積Sは, S= である。 (2) OPとして,点Pが関係式 = sato, 4s+3t6s≧0t≧0 を満たしながら動く。 OC= - = a, OD サ 6 とおくとき、点Pは OCD の周および内部にあるから、点Pの存 [スセ] 在する領域の面積は である。 (3) DQ として,点Qが関係式 34-24-6-6 を満たしながら動く。 このとき,点Qは線分ABを および内部を動く。 チに内分する点Eを中心とする, 半径 の円の