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こでは
。
+3)',
x)'
2
Ty
をxで微分
1---
+1)
それぞ
例題156 第2次導関数と等式
「基
(1) y=log(1+cosx) のとき, 等式y" +2e-12 = 0 を証明せよ。
(2) y=esinx に対して, y" = ay+by となるような定数α, bの値を求めよ。
(1) 信州大 (2) 駒澤大]
基本155
指針 第2次導関数y" を求めるには, まず導関数yを求める。 また, (1), (2) の等式はともに
の恒等式である。
(1)y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。
xで表すには,等式 elogp=pを利用する。
(2) y',y" を求めて与式に代入し、数値代入法を用いる。
解答
(1) y=2log(1+cosx) であるから
(1+cos x)'
y'=2・
1+cosx
って
y" =
ゆえに
また, 1/2 =log(1+cosx) であるから
2
ゆえに
2e-2=-
1+cos x
2{cos x(1+cos x)—sinx(−sinx)}
a13 (1+cosx)
2(1+cosx)
(1+cos x)²
2
また,x=
y
e2
2sinx
1+cosx
y" +2e=¾ = _____ 2
=e²x(3sinx+4cosx)・
2
1+cosx
2
+
1+cos x 1+cosx
よって
(2) y=2e2*sinx+excosx=e (2sinx+cosx)
y"=2e²x (2 sinx+cosx)+e²x (2 cosx-sinx)
2
x=2を代入して
ež=1+cosx.
7
= 0 + xS)nia!
=e2x{(a+26)sinx+bcosx}:
00000
y'=ay+by' に ① ② を代入して
e2x (3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx} ... ③
③はxの恒等式であるから, x=0を代入して
4=b
3e=e¹(a+2b)
=
1700430
log M = klogM
なお、-1≦cosx≦1と
(真数) > 0 から
1+cosx>0
$30
◄sin²x+cos²x=1
ay+by'=ae²x sinx+be²x (2 sinx+cosx)) = (___
(2)
elogp=pを利用すると
| alog(1+cosx)=1+cosx
267
E
これを解いて
a=-5,6=4
このとき
(③の右辺)=e^x{(-5+2・4)sinx+4cosx}= (③の左辺) 逆の確認。
したがって
CHO
a=-5, b=4
5章
(e) (2 sinx+cosx)}
+e2*(2sinx+cosx) (S)
2 高次導関数関数のいろいろな表し方と導関数
[参考 (2) のy=ay+by' の
ように、未知の関数の導関数
を含む等式を微分方程式と
いう (詳しくは p. 473 参照)。
③ が恒等式③にx=0,
を代入しても成り立つ。
(>)
B
練習 (1) y=log(x+√x2+1)のとき, 等式(x2+1)y"+xy'=0を証明せよ。
③156 (2) y=e2x+ex がy"+ay'+by= 0 を満たすとき,定数 α, 6 の値を求めよ。
(1) 首都大東京, (2) 大阪工大] Op.275 EX131~133
#20 [3] [0]
