-
![]()
例題 158 約数の個数
****
(1) (a1+a2)(b,+b2+bs+ba)(ci+C2+c3) を展開すると、異なる項は何
個できるか.
130
(2)200の約数の個数とその総和を求めよ. また, 約数の中で偶数は何
一個あるか ただし, 約数はすべて正とする.
考え方 (1) (a+α2)(b,+b2+bs+ba) (CL+C2+C3)
14001
たとえば, (a1+a2)(b1+62+63+64) を展開してできる a b に対して,
arb (cicaca)の展開における項の個数は3個である。円
13
(a1+a2)(bi+b2+bx+ba) を展開するとき, a b のような項がいくつできるか考
えるとよい.
(2)1か2か22か23×1か5か52 であるが, (1+2+2+2)(1+5+52) を展開すると
1×1,2×14×1,8×1,
1×52×54×5,
8×5,
1×25,2×25,4×25, 8 × 25
7:001
がすべて一度ずつ現れる. したがって,約数の総和は,次のようになる。
(1+2+4+8)×1+(1+2+4+8)×5+ (1+2+4+8)×25
= ( 1 + 2 + 4 + 8 ) ( 1 +5 +25)
200=23×52 より 約数が偶数になるのは,1以外の23の約数を含むときであるか
ら2か22か2を含む約数の個数を求めればよい。
1,2の2通り
解答
(1) (a1+a2)(bi+62+63+64) を展開してできる項
の個数は, 2×4(個)である。円
b, b, 63, b の4通り
また, (a1+a2)(b1+b2+63+64) の1つの項
ab1 に対して,
001a*bi(ci+C2+c3)
展開における項の個数は3個である。
01 よって, 求める項の個数は、
C1, C2 C3 の3通り
2×4×3=24 (個)
(2)200を素因数分解すると,
|200=23x5
(3+1)×(2+1)=12
(
積の法則
より、約数の個数は,
12個
また,偶数の約数は2か2か2を含むもの
だから,
また、約数の総和は,
(1+2+2+2)(1+5+5)=465 51・51 21 51 2%•5' 2 •5
1 2¹ 22 23
1
1.1 2.1 2.1 23.1
52 1・52 2'.52 22.52 23•52
3×(2+1)=9?
偶数になるのは,1以外の
より, 偶数の約数の個数は,
2°の約数を含むとき
9個
Focus
約数の個
