基本 例題 20 極限の条件から数列の係数決定など
00000
(1) 数列{az} (n=1, 2, 3, ......) が lim (3n-1)a=-6を満たすとき,
limna = である。
8818
17100
[類 千葉工大]
(2) lim(n+an+2-n-n) =5であるとき、 定数αの値を求めよ。
p.34 基本事項 基本 18
指針
n
(1) 条件 lim (3n-1)a=-6を活かすために, nan3n-1)円×
と変形。
3n-1
数列 1377-1} は収束するから,次の極限値の性質が利用できる。
lima=a, limb=β⇒lima,b=aβ (α,βは定数)
11-00
818
→∞
(2)まず、左辺の極限をαで表す。 その際の方針は.38 基本例題18 (3) と同様。
0
(1) nan=(3n-1) anx
n
であり
Ana を収束することが
3n-1
lim(3n-1)an=-6,
72 00
n
1
1
lim
=lim
わかっている数列ので
表す。
72100
3n-1
72→80
1
3
3
7
1
よって
lim nan
7210
=lim (3n-1)an×lim
n→∞
1
=(-6).
=-2
3
(2) lim(√2+an+2-√n²-n)
12-00
(n²+an+2)-(n²-n)
=lim
72100
=lim
n→∞
=lim
√n²+an+2+√n²-n
(a+1)n+2
n²+an+2+√n²-n
(a+1)+
22
nco 3n
n
n
収束するやつ。
+ 2
a+1
12
n→∞
a
2
1 + - +
+ 1-
n
n²
よって、条件から
a+1
-=5
したがって
2
a=9
極限値の性質を利用。
かけられる!
ab mil
分母分子に
√ntan+2+vn-n
を掛け,分子を有理化。
分母分子をnで割る。
n> 0 であるから
n=√n²
αの方程式を解く。
■ (1) 次の関係を満たす数列{a} について, liman と limna を求めよ。
(ア) lim (2n-1)an=1
7178
118
(イ) lim
n→∞ 2an+1
an-3
=2
n→oo
(2) lim(√m²+an+2-√n²+2n+3)=3が成り立つとき, 定数αの値を求めよ
8+U
(2)摂南
