2次関数 y=x°-2ax+2a (0Sxs2) の最小値を m(a), 最大値をM(a) とす
例題 67 | グラブ
る。
(2) 最大値 M(a) をa
(1)最小値m(a)をaで表せ。
解 (x) =x?-2ax+2a とおくと,
fx) = (r-a)?-a?+2a
より,この関数のグラフは x=a を軸と
する下に凸の放物線である。
で表せ。
図1:
Ay!
a!
12
m(a)
図2
(1)(i) a<0 のとき, 図1より
f(x)は x=0 のとき最小値をとる。
m(a) =f(0) =2a
(i) 0Sa<2 のとき, 図2より
f(x)は x=a のとき最小値をとる。
m (a) =f(a) =a°-2a*a+2a=-a°+2a
() 2Sa のとき, 図3より
f(x)は x=2 のとき最小値をとる。
m(a) =f(2) =2°-4a+2a=4-2a
(i), (i), ()より, 求める最小値 m (a) は
y
m(a)
a
0
図3
-mla
図4
YA
2a
(a<0)
-a+2a (0Sa<2)
(2Sa)
IM(a)
m(a) =
4-2a
11
2
人 65
(2)(i) a<1 のとき, 図4より
f(x)は x=2 のとき最大値をとる。
M(a) =f(2) =2°-4a+2a=4-2a
(i) a=1 のとき, 図5より
f(x)は x=0, 2 のとき最大値をとる。
M(a) =f(2) -f(0) =D2|
() 1<a のとき,図6より
f(x)は x=0 のとき最大値をとる。
M(a) -(0) =2a
(i), (i), ()より, 求める最大値 M(a) は
図5
M(a)
Ma)
0
図6 :4Y
M(a)
[4-2a (a<1)
M(a) = {2
(a=1)
