114.2 2番で問われていることは「mとpqが互いに素であるような自然数mの個数をf(pq)として、p≠qのときのf(pq)を求めろ」ということですか？　

482 A 00000 互いに素である自然数の個数 例題 ( 114) [類名古屋大 nを自然数とするとき, m≦n で, mとnが互いに素であるような自然数mの 重要 個数をf(n) とする。 また, p, g は素数とする。 (1) f (15) の値を求めよ。 (3) 自然数に対し, f(p) を求めよ。 指針 (1) 15 と互いに素である 15 以下の自然数の個数を求めればよい。 15=3･5であるから 15 と互いに素である自然数は, 3の倍数でも5の倍数でもない自然数である。 しかし、 「でない」 の個数を求めるのは一般に面倒なので, 全体 (である)の方針で考える。 (2) は異なる素数であるから, bg と互いに素である自然数は, pの倍数でもgの倍 TRAND 数でもない自然数である。 (1) と同様, 全体 (である)の方針で考える。 (3) と互いに素である自然数は,かの倍数でない自然数である。 解答 (1) 15=3.5 であるから, f(15) は1から15までの自然数のう ち, 1-3, 2-3, 3.3, 4.3, 1.5, 2.5, 3.5 を除いたものの個数であるから f(15)=15-7=8 (2) p, g は異なる素数であるから, pg と互いに素である自然 数は,pの倍数でもgの倍数でもない自然数である。 ゆえに, f(pg) は, 1 から by までのby 個の自然数のうち D p,2p,......, (q-1) p, paig, 2g, , (p-1)q, pq を除いたものの個数である。 よって f(pg) = pg-(p+α-1) = pg-p-g+1 (2) gf (pg) を求めよ。 FRO =(p-1) (q-1) (3) 1からp までの個の自然数のう の倍数はppp1(個)ある から、f(p) はかの倍数でないものの個数を求めて f(p)=p²-pk-1 ISMAI ①pは素数, kは自然数のとき ② p q は異なる素数のとき ②' p q は互いに素のとき pの倍数 (9個) 練習 (3) ③ 114 (1) f(77) の値を求めよ。 gの倍数 (個) 1~pq pg(1個) bigと 互いに素 基本112,113) 15 程度であれば,左の解答 でも対応できるが,数が大 きい場合には,第1章の基 本例題1で学習した, 集合 の要素の個数を求める要領 で考える。 検討 オイラー関数(n) CADRE n は自然数とする。1からnまでの自然数で, n と互いに素であるものの個数をΦ(n) と表す。 このΦ(n) をオイラー関数といい, 次の性質があることが知られている。 $(p)=p-1, (p²)=p²-pk-1 (pa)=(p)o(q) 上の重要例題 114 の f (n) について,次の問いに答えよ。 <pg が重複していることに 注意。 はギリシア文字で「ファイ」と読む。 [(1) で確認] p=3,g=5 とするとf(15)=f(3.5) =(3-1)(5-1)=2.4=8 (pa)=(p)o(q)=(p-1)(q-1) (1-1/2)としてもよい。 (2) f (pg) = 24 となる2つの素数p, g (p<g) の組をすべて求めよ。 (3) f(3) = 54 となる自然数kを求めよ。 [類 早稲田大〕 1 STT p.484 EX80 基本 2 (2) CHA 解 (I) 20 素因 1か 1

6を教えてください。 どこで間違えてますか？

10 5 次の (1) x3–1000y3 6 3 (1)(x-2)の展開式におけるxの項の係数を求めよ。 (2)(2x+3y) の展開式におけるxy2の項の係数を求めよ。 4 次の整式Aを整式Bで割り,商と余りを求めよ。 (1) A=x-3x2+x+2, B=x2-2x (2) A=8x³+2x+3, B=2x²-1+3x 5 次の計算をせよ。 (1) x2+x-6x2-2x-3 × x-3 次の計算をせよ。 x-1 (1) x2+3x+2 + x+3 2 x+1 30 第1章 式と証明 (2) (2) x2-8x+7 4x x2-1 x2+10x+9x2+8x-9 x-1 x2+x Op.13 例題 5 5 p.15 例題 6 Op.17 例題 7 157 等式(q²+62)(x2+y2)=(ax+by) ' + (ay-bx) を証明せよ。 x2-2x+1 p.19 例題 8 p.22 例題 10 82a+b=5のとき, 等式 4d²-b2=10α-56 を証明せよ。 p.23 例題 11 9 不等式 x+y≧4(x-1) を証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどの ようなときか。 Op.26 例題 15

数学Iで質問です。 (1)なんですけど、マーカーを引いたところの一個目の場合分けを自分は 「x-3 ≧0つまりx ≧3のとき」と書きました。 2個目の場合分けも「x-3<0つまりx<3のとき」と書きました。これは間違いになってしまいますか？？

できない 書では 率よく 入試に 取り上 行いま にク 基礎問 32 第1章 数と式 19 絶対値記号のついた1次不等式 次の不等式を解け . (1) |x-3|<2 (2) |x+1|+|x-1|<4 精講 絶対値記号の扱い方は,不等式の場合も方程式 (18) と同様に, で学んだ考え方が大原則ですが,ポイントIの考え方が使えるなら ば、 場合分けが必要ない分だけラクです. また,34で学ぶグラフを利用する考え方 ( 解ⅡII) も大切です. 解答 ( 1 ) (解Ⅰ) |x-3|<2 は絶対値の性質より -2<x-3<2 ∴ 1<x<5 ( 解ⅡI) |x-3|= 4. i) x≧3のとき ① は x-3<2 :. x<5 よって, 3≦x<5 ii) x<3のとき ①は-(x-3)<2 -x+3<2 x-3 (x≥3) −(x-3) (x<3) 2=84+9 t 89492 .. 1<x よって、1<x<3 i), ii)をあわせて,1<x<5 【絶対値の中身が 0 となるところ で場合分け x≧3と仮定し ていることを忘 れないこと <x<3と仮定し ていることを忘 れないこと

合ってますか？

15 20 ける abc2 の項の係数を求めてみよう。 {(a+b)+c} を展開したときの一般項は 6- Cr(a+b) -c ここで, c” が c2 となるのは r=2のときである。 よって, c2 を含む項は 6C2(a+b)6-22 すなわち 6C2 (a+b)*c2 また, (a+b)* の展開式において, db の項の係数は 4C1 したがって, abc2 の項の係数は -7y3 46.5 6C2×4C1 = ×4=60 2.1 練習 (a+b+c) の展開式における次の項の係数を求めよ。 (1) a²b³c²580 (2) ab²c¹00 第1章 式と証

数Ⅲ　複素数平面　三角形の形状 　pα^2+qαβ+β^2=0　　の形があれば 両辺をα^2またはβ^2で割ると、偏角を求められる、という問題です。 　 解説ではα^2で割っていますが、僕はβ^2て割りました。 　結果、 α/β=（-3±√3）/6 となり、有... 続きを読む

練習 Up 70 WAS ICEL 30 第1章 複素数平面 より, α, β, y は相異なる複素数で, 3a+β+y=aB+By+ra=0,lal=2 を満たす. このとき、 複素数平面上で3点A(α), B(B), C(y) を結んで得られる三角形ABCの面積を求めよ. E 3a+β+y=0 より, y = -3a-β ...1 ① を, aβ+By+ya=0 に代入して, aß+B(-3a-B)+(-3a-B)a=0 よって, B2+3aß+3a² = 0 ...... ② |a|=2より, α=0であるから ② の両辺を2で割ると,α≠0を確認する。 までの、B <t=B とおくと, a ²007- t2+3t+3=0 より 2 (6) + (6) +3-0 a a B a よって, -3±√3i +√ √ ³² = √3 (-√3³ + 1/ 1) 2 2 30 B=√3{cos (± 5)+isin(+27)}α (土 200 =√3{cos(土木) +isin (土)(複号同順) Plane 200 E 5 △OAB = 1/13・OA・OB･sin- 6T を消去して,αとβの関係 を調べる. aiei ++200gu Sha (nies + 200 18-x=¹x2x2√3 x ²¹ = √/153 1×2×23×1 2 ・③ t= ・π -3±√3i Y-8 2 (+1) 0)* 1:8 5 したがって、BはAを原点Oのまわりにまたは 6 だけ回転して, 原点Oからの距離を3倍した点である. $150 A081.01 つまり、∠AOBの大きさはこれで, [B|=√3|4|=2√30A=|4|,OB=|8| より, AD 80: AD 818 # RESON HAA ANO 1:1=80 A 63

（2） 式の意味がわからないです。解説をお願いします🙇‍♀️

基本例題48 炭化水素の燃焼 あるアルカンについて,次の各問いに答えよ。 (1) アルカン1分子中の炭素原子の数をnとして, その分子式を示せ。 (2) アルカンの完全燃焼を, (1) の分子式を用いて化学反応式で表せ。 (3) あるアルカン1molを完全燃焼させるのに, 酸素が5mol必要であった。 このア ルカンの分子式と名称を記せ。 考え方 (2) 1molのアルカン CH2+2 が完全燃焼すると. 9/11 と表される。 CO2 がn [mol], H2O n +1 [mol] 生じる。 両辺の酸素原 子の数が等しくなるように, 化学反応式を完成する。 (3) (2) の物質量の条件にあて はまるnの整数値を求める。 解答 (1) アルカンは飽和炭化水素であり, 分子式はCmH2n +2 問題 437-438 アルカン CnH2n+2 の完全燃焼は,次のように表される。 CmH2n+2+ ・02- nCO2+(n+1) H2O (3) アルカン1molを完全燃焼させるときに必要な酸素 は5mol なので, (2) の化学反応式から、 次式が成り立つ。 -=5 n=3 したがって, 分子式はC3H となり、このアルカンの名 称はプロパンとなる。 3n+1 2 3n+1 2 第1章 有機

（2）でなぜA.Bの中点から求めることが出来るのですか？ また、なぜb>aと分かるのですか？ また、A.Bからの距離の和が4なのになぜ2b=4となるのですか？ 質問が多くてすいません、どなたか教えて頂けると嬉しいです

基礎問 6 第1章 式と曲線 Ms 第1章 式と曲線 1 だ円 (I) 次の問いに答えよ. 精講 (x−5)² __ (y+1)² + 25 16 (1) だ円 C: 長さ, 点 (8, 1/2) における接線の方程式を求めよ. (株) (2) 2つの定点A(1, 3), B(1, 1) からの距離の和が4となるような点 -=1の焦点の座標, 長軸の長さ, 短軸の P(x,y) の軌跡を求め、それを図示せよ. AN eft だ円については,次の知識が必要です。 〈定義〉 2つの定点A,Bからの距離の和が一定の点Pの軌跡,すなわち, AP+BP=一定 (一定値は長軸の長さ) 〈標準形〉 (横長のだ円) La x² y² TORON a+z=1 (a>b>0) で表される図形はだ円で, ● 中心は原点 ・焦点は (√²-620) もし忘れたら,Pを軸上にとって三平方の定理 470 を使うと求められます . ・長軸の長さ: 2a, 短軸の長さ: 26 ・だ円上の点(x,y) における接線の方程式は X1X Yıy ·+· a² 62 -=1 yap 10 ax ✓a²-62

写真の 2枚目に付箋である通りどうしてn≧2になるかわかりません

B1.57 点Oを中心とする円周上に3点A,B,Cがあり、円外に点Dがある. それらが右の図のように実線で結ばれている. 今,動点Pが点Aか らスタートし、1秒ごとに実線で結ばれた隣の点に等しい確率で移 動する.点 0 および点Dに到着したらそこで停止するものとし,点 Dにn秒後に初めて到着する確率をdとするとき, d, をnの式で 表せ. n秒後に点Pが3点A,B,C にいる確率をそれぞれ an, bm, Cm とすると, dn+1= 3 Cn = -b₂+ an+1 3 bn+1=an + 3 C₂ .....1 ·② Cn+1=- =1/1234+1/20① an -bn 161,92 ns ① C A htls →D B B1 B2 C1 C2 X= $ またし

ベクトルの問題です。 画像1枚目の青くマーカーを引いた部分が分かりません。なぜベクトルBCがベクトルAC-ベクトルABで求められるのでしょうか？画像の3枚目を見ても理解出来ませんでした。どなたか解説お願い致します。

8 (2) 三平方の定理から BC=√AB2+ AC2 = √82 +62 = 10 よって, BC と平行な単位ベクトルは 10BC-1 BC BC=AC-AB=c-1 であるから、求めるベク 10 (c-6.10 (c) (c-b), トルは すなわち 111+1/11/16-1102 ・C, -b (1) 2x+ x- ① + ② よって このと (2) 2.x- x+ ① + ②

アとイが納得できません。日立市の方が山にあるように見えるのになぜアが木材なのでしょうか？また、イは自動車輸送の利便性に優れたと書いてありますが、あまりそのようには見えないのですが…。

3 次の図1は20万分の1地勢図 (一部改変) に示した, 茨城県北部の常陸太田市とその周 辺地域図2は常陸太田市と日立市 水戸市の製造業における事業所数の業種別割合を 示したものであり, ア~ウは、印刷・印刷関連,電気機械器具, 木材・木製品のいずれ かである。 ア~ウと業種名との正しい組合せを、 下の①~⑥のうちから一つ選べ。 常陸太田市 図 1 日立市 ア 印刷・印刷関連 ② 印刷・印刷関連 電気機械器具 電気機械器具 木材 木製品 木材 木製品 19 常陸太田市 日立市 水戸市 0 電気機械器具 木材 木製品 印刷・印刷関連 木材 木製品 印刷・印刷関連 電気機械器具 20 □■ 40 60 80 100% 食料品 金属製品 ア イ ロウ □ その他 統計年次は2010年。 『工業統計表』により作成。 図2 木材 木製品 電気機械器具 木材 木製品 印刷・印刷関連 電気機械器具 印刷・印刷関連 THE 第1章 系統地理 問3 [答] 本間でまず確認しておきたいのは、各都市がどのような場所に立地しているかという位置情報である。 常陸太田市は内陸の山あいに、 日立市は東部の海沿いの港や高速道路が存在する場所にある。 そして水 戸市については茨城県の県庁所在都市であると認識しておきたい。その上で、 すでに示されている食料 品 (原料指向型または市場指向型) や金属製品 (臨海部などの交通指向型)と類似のものを探していく視 点で考えてみると、 常陸太田市はアと食料品の割合が高い。 よって,アは食料品と同じ原料指向型工業 で、山あいで森林資源に恵まれるであろうことから木材・木製品となる。 次に日立市であるが, イと金 属製品の割合が高い。 よってイは、小型軽量部品を組み立て、 完成品も比較的小型であるため、地方で は自動車輸送の利便性に優れた交通指向型の立地となる電気機械器具となる。 企業名から判断すること も可能ではあるが、本問ではそのことだけを求めているわけではない。 最後に水戸市であるが、食料品 やウの割合が高い。県庁所在都市である水戸市には中枢管理機能が集まり、情報も多く集まることから、 ウは食料品と同じく市場指向型の印刷・印刷関連となる。