31 x>1においてf(x)=x-logx,g(x)=-
(ただし,対数は自然対数とする) .
(1) f(x) > 0 を示せ .
(3) g(x) を示せ。これを用いて, himg(x)=c を示せ.
(3) g'(x),g(x) を計算し,g(x) の極値 変曲点の座標を求めよ.
(4) 関数y=g(x)のグラフをかけ.
思考のひもとき
1. (f(x) の最小値) > 0 ならばf(x)>0である。
f(x)>g(x) = f(x)-g(x)>0
f(x)=g(x) かつ lim g(x)=+∞⇒
x48
解答
(1)
①をxで微分すると
f(x)=√x-logx ......①
よって
(2)
f'(x)=0 とすると
f(x) の増減表を考えて
1
1
f'(x)=
-2√x ² = √2-2
x
2x
x
f'(x)
f(x)
よって, f(x)はx=4で最小となるから
X→∞○
x=4
1
x>1のとき
4
0 +
極
小
x
logx
x
log x
g(x)=√x=- -√√x=-
f(x)=f(4)=2-log 4= log e²-log 4>0 (*: e>2£he²>4)
f(x) > 0 □
とするとき、次の問いに答えよ
lim f(x) = +∞
log x
xxxlogx_√x(√x-10gx)
第4章 微分法
li√x≠であるから, g(x) >√xと合わせて
log x
√x>0であり,x>1より logx>0であり, (1)より√x-log x>0であるから,
9(x) > √x -FJXF¹)
(佐賀大)
X→∞
limg(x) = ∞ □:
微分法
ひもとき2.
99