基本 例題59
アは無理数であることを証明せよ。 ただし, nを自然数とするとき, n'が7の
倍数ならば,n は7の倍数であることを用いてよいものとする。
V7 が無理数であることの証明
【類九州大)
基本 58
指針> 無理数であることを直接証明することは難しい。 そこで, 前ページの例題と同様
の 直接がだめなら間接で 背理法
に従い「無理数である」=「有理数でない」を,背理法で証明する。
つまり,V7 が有理数(すなわち 既約分数 で表される)と仮定して矛盾を導く。
補 2つの自然数 a, bが1以外に公約数をもたないとき, aとbは 互いに素 である
(数学 A参照)といい,このとき,
a
は既約分数 である。
解答
7 が無理数でないと仮定すると, 1以外に正の公約数をもた
ない自然数 a, bを用いて, /7=
a
と表される。
V7 は実数であり, 無理
でないと仮定しているから
有理数である。
a=7b
このとき
両辺を2乗すると
よって, α'は7の倍数であるから, aも7の倍数である。
のえに, cを自然数として, a=7cと表される。
この両辺を2乗すると
D, ② から
って, 6°は7の倍数であるから, bも7の倍数である。
えに,aとbは公約数7をもつ。
れは,aとbが1以外に公約数をもたないことに矛盾する。
たがって, V7 は無理数である。
a=76°
の
例題の「ただし書き」を月
いている。
a=49c?.
76°=49c? すなわち 6°=7c°
2
これも,「ただし書き」 に
る。
討
エの解答で示した背理法による証明法は, /2, V3, /5 などが無理数であることの証明にも月
られる証明法である。 この場合
「n°がk(k=2, 3, 5) の倍数であればnもkの倍数である」
とた利口
