例題14 数列{an}の初項から第n項までの和S" が, S=24"nであるとき, {an}の一般項を求
めよ。
|解答 Si=2a1-1より
a₁=2a₁-1
よって
a₁ =1
an+1=Sn+1−S" であるから, 与えられた関係式より
an+1={2n+1−(n+1)} -(2a-n)
an+1=2an+1-24-1
すなわち
これより
この漸化式を変形すると
an+1+1=2(a₂+1)
したがって, 数列{an+1} は初項 α+1=2, 公比2の等比数列であるから
an+1=2.2n-1
すなわち
a₂=2"-1
次の条件によって定められる数列{an}の一般項を, bn=an+1-aとおくことにより求めよ。
79
(1) *a=1, an+1=2an+n-1
条件から
antz
ここで
bitl
anti = zanth-l
辺々を引くとantz
bn=
これを変形して
anti
=2antith
-
a2
an+1=2a₂+1
anti
=zlanti-an) +1
an とおくと but=bn+1d
= 19₂.
2
=1+2
bnt. +1=2(buti)
=za,+1-1=2だから
7
a₁ ) +1
=(2-1)+1=2
よって、数列{bn+1} は初項2、公比2の等比数列だから
bn +1 = 2-24-1
= 2h
69
=
すなわち bn=27-1
数列{bn}は数列an」の階差数列だから
uzzne =
an=a,+125-1)
2 (2^~² - 1)
2-1
— (4-1) = 2" -n
初項はム、こしだからこの式はh=1のときも成り立つ。
よってan=ズーム
