応用
| 例題
7
小寺式の証明
不等式 2"> 2n+1を, 数学的帰納
は3以上の自然数とする。
法によって証明せよ。
解説 3であるから, 次のことを示せばよい。
[1] n=3のとき, 不等式が成り立つ。
[2] k3として, n=kのとき不等式が成り立つと仮定すると,
n=k+1のときにも不等式が成り立つ。
証明
この不等式を ① とする。
[1] n=3のとき
左辺 =23=8,
右辺 =2・3+1=7
よって, n=3のとき, ①は成り立つ。
[2] k≧3として, n=kのとき ①が成り立つ, すなわち
2k>2k+1
②
と仮定する。 n=k+1のとき, ①の両辺の差を考えると
左右田
②から
-
2k+1_{2(k+1)+1}=2・2-(2k+3)
2.2kー(2k+3)>2(2k+1)-(2k+3)
=2k-1>0
←k≧3から
よって
すなわち
2k+1_{2(k+1)+1}>0
2k+1>2(k+1)+1
よって, n=k+1のときにも ① は成り立つ。
[1], [2] から, 3以上のすべての自然数nについて ① は成
り立つ。
終
